Elementare und algebraische Zahlentheorie/8/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 3 4 6 4 6 0 4 2 0 0 0 4 7 48




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Exponent zu einer endlichen Gruppe .
  2. Eine Fermatsche Primzahl.
  3. Eine -Algebra , wobei einen kommutativen Ring bezeichnet.
  4. Die Diskriminante zu Elementen bei einer endlichen Körpererweiterung vom Grad .
  5. Ein Dedekindbereich.
  6. Ein effektiver Divisor in einem Zahlbereich .


Lösung

  1. Der Exponent von ist die kleinste positive Zahl mit der Eigenschaft, dass für alle ist.
  2. Eine Primzahl der Form , wobei eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.
  3. Eine -Algebra ist ein Ring mit einem fixierten Ringhomomorphismus .
  4. Die Diskriminante von wird durch

    definiert.

  5. Einen Integritätsbereich nennt man einen Dedekindbereich, wenn er noethersch und normal ist und wenn jedes von verschiedene Primideal darin maximal ist.
  6. Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe

    die sich über alle Primideale aus erstreckt und wobei natürliche Zahlen sind mit für fast alle .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Quadratcharakterisierung von für Restklassenkörper von .
  2. Der Satz von Dirichlet über die Verteilung von Primzahlen.
  3. Der Satz über die Irrationalität von Wurzeln aus natürlichen Zahlen.


Lösung

  1. Sei eine Primzahl. Dann gelten folgende Aussagen. Für ist ein Quadrat in . Für ist ein Quadrat in . Für ist kein Quadrat in .
  2. Sei eine natürliche Zahl und eine zu teilerfremde Zahl. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen, die modulo den Rest haben.
  3. Sei die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl . Sei eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ein Vielfaches von sind. Dann ist die reelle Zahl
    irrational.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und und gebe eine Darstellung des von und mittels dieser Zahlen an.


Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert:

Die Zahlen und sind also teilerfremd und ist ihr größter gemeinsamer Teiler. Eine Darstellung der erhält man, indem man diese Division mit Rest rückwärts liest, also


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei . Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im -System (ohne die Nuller- und die Zehnerreihe), ob eine Primzahl ist.


Lösung

Die Zahl ist genau dann eine Primzahl, wenn im Kleinen Einmaleins zur Basis keine als Endziffer der Tabelleneinträge auftaucht. Wenn nämlich keine Primzahl ist, so gibt es eine Zerlegung

mit . Die Ziffern kommen also im kleinen Einmaleins vor. Das zugehörige Produkt hat in dem System die Ziffernentwicklung und somit taucht als Endziffer die auf.

Wenn umgekehrt die im kleinen Einmaleins als Endziffer auftaucht, so bedeutet dies, dass es Ziffern derart gibt, dass ein Vielfaches von ist. Es ist also

Wenn prim wäre, so müsste nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren teilen, doch das geht nicht, da diese beiden kleiner als sind.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen und durch Induktion über das Maximum von und .


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über das Maximum von und , wobei wir ohne Einschränkung wählen können. Wenn das Maximum ist, so sind beide Zahlen und somit nicht teilerfremd. Wenn das Maximum ist, so ist und somit ergeben und eine Darstellung der . Seien nun teilerfremd, und die Aussage sei für alle Zahlenpaare, deren Maxima kleiner als sind, schon bewiesen. Dann ist , da bei die beiden Zahlen nicht teilerfremd sind. Ebenso können wir ausschließen. Wir betrachten das Zahlenpaar und wollen darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Das Maximum dieses neuen Paares ist jedenfalls kleiner als . Allerdings müssen wir, damit die Induktionsvoraussetzung wirklich eingesetzt werden kann, wissen, dass auch und teilerfemd sind. Dazu führen wir einen Widerspruchsbeweis.  Nehmen wir also an, dass und nicht teilerfremd sind. Dann gibt es eine natürliche Zahl , die sowohl als auch teilt. Dies bedeutet wiederum, dass es natürliche Zahlen mit und gibt. Doch dann ist

ebenfalls ein Vielfaches von , im Widerspruch zur Teilerfremdheit von und .  Die Induktionsvoraussetzung ist also auf und anwendbar und somit gibt es ganze Zahlen mit

Dann ist aber auch

und wir haben eine Darstellung der mit und gefunden.


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol



Lösung Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.

    =  
 hat modulo  den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
  =  
Reduktion des Zählers.
  =  
Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.
  =  
Vorne steht ein Quadrat. hat modulo den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
  =  
Reduktion des Zählers.
  =  
 und  haben beide modulo  den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
  =  
Reduktion des Zählers.
  =  
Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.
  =  
Vorne steht ein Quadrat. und haben beide modulo den Rest , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich .
  =  
Reduktion des Zählers.
  =  
, deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz kein Quadratrest modulo .

Also ist kein Quadratrest modulo .


Aufgabe (6 Punkte)

Es seien und Ideale in einem kommutativen Ring und sei . Zeige die Gleichheit


Lösung

Zum Beweis der Inklusion sei . Da das Produkt von Idealen aus allen Summen von Produkten besteht, bedeutet dies, dass

wobei

mit ist. Dies bedeutet wiederum, dass

mit und ist. Somit ist

Wenn man ein solches Produkt distributiv ausrechnet, so erhält man eine Summe von Produkten mit Faktoren, wobei Faktoren zu und Faktoren zu gehören. Damit gehören diese Summanden zur rechten Seite und somit auch die und auch .

Zum Beweis der Inklusion genügt es, die Inklusion für jedes zu zeigen. Wegen ist aber sofort


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms in .

b) Zeige, dass durch

ein Körper mit Elementen gegeben ist.

c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von über .


Lösung Polynomring/eine Variable/Z mod 5 und mod 25/Primfaktorzerlegung von X^3+X+2/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal , das durch die rationalen Zahlen

erzeugt wird.


Lösung

Wir bringen die drei Brüche auf einen Hauptnenner, was

ergibt. Der größte gemeinsame Teiler der beiden ersten Zähler ist . Da dies teilerfremd zu ist, sind die drei Zähler insgesamt teilerfremd. Daher wird das gebrochene Ideal durch erzeugt.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein faktorieller Zahlbereich. Zeige, dass dann ein Hauptidealbereich ist. Dabei dürfen grundlegende Sätze über Zahlbereiche verwendet werden.


Lösung

Siehe die entsprechende Argumentation im Beweis zu Fakt.


Aufgabe (7 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne den Hauptdivisor zu


Lösung Sei . Wir bringen auf einen Hauptnenner, also

.

Der Nenner ist . Die Zerlegung für diese Primzahlen ist:

Modulo .

.

Das Polynom hat keine Nullstelle über , also ist es irreduzibel und es liegt ein Körper vor. Daher ist ein Primideal in .

Modulo .

.

Das Polynom ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal vor. Diesem Primideal entspricht in das Primideal . Es gilt die Idealzerlegung in .

Für den Zähler betrachten wir die Norm, also

.

Wir berechnen wieder die Idealzerlegung der beteiligten Primfaktoren.

Modulo .

.

Das Polynom ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal vor. Diesem Primideal entspricht in das Primideal . Es gilt die Idealzerlegung in .

Modulo .

.

Das Polynom ist nicht irreduzibel, es hat die beiden Nullstellen und , und die Zerlegung . Damit gibt es die beiden Primideale und , die den beiden konjugierten Primidealen und entsprechen.

Damit ist

.

Die doppelt auftretenden Primideale verteilen sich (aus Symmetriegründen) auf die beiden Faktoren. In kann man bilden , so dass zu gehört, und man erhält

.

Damit ist der Hauptdivisor gleich

.