Elliptische Kurve/Charakterisierung/Geschlecht/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über $K$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Das kohomolgische Geschlecht von $C$ ist $1$.
2. Das differentielle Geschlecht von $C$ ist $1$.
3. $C$ besitzt eine Realisierung als glatte kubische Kurve.
4. $C$ besitzt die Struktur einer Gruppenvarietät.

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