Elliptische Kurve/Differentialformen/Kanonische Beschreibung/Textabschnitt

Beispiel

Es sei ${}F$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}3$ in den Variablen ${}X,Y,Z$, das eine elliptische Kurve definiere. Dann ist nach Fakt die Differentialform

${\frac {Y^{2}}{\,{\frac {\partial F}{\partial Z}}\,}}d{\frac {X}{Y}}$

global definiert. Die Beschreibungen auf den anderen offenen Mengen sind entsprechend gebildet. Da die angegebene Beschreibung auf ${}D_{+}(Y)\cap D_{+}({\frac {\partial F}{\partial Z}})$, folgt ferner, dass diese Differentialform keine Nullstelle besitzt.

Beispiel

Wir betrachten die homogene Gleichung (kurze Weierstaßform)

${}Y^{2}Z=X^{3}+aXZ^{2}+bZ^{3}\,$

bzw.

${}Y^{2}Z-X^{3}-aXZ^{2}-bZ^{3}=0\,$

über einem Körper der Charakteristik ${}\neq 2,3$. Nach Beispiel bzw. Fakt ist

${}{\begin{aligned}\omega &={\frac {Y^{2}}{Y^{2}-aXZ-3bZ^{2}}}d{\frac {X}{Y}}\\&=-{\frac {X^{2}}{Y^{2}-aXZ-3bZ^{2}}}d{\frac {Y}{X}}\\&=-{\frac {Z}{2Y}}d{\frac {X}{Z}}\\&={\frac {X^{2}}{2YZ}}d{\frac {Z}{X}}\\&={\frac {Z^{2}}{3X^{2}+aZ^{2}}}d{\frac {Y}{Z}}\\&=-{\frac {Y^{2}}{3X^{2}+aZ^{2}}}d{\frac {Z}{Y}}\end{aligned}}$

eine globale Differentialform ohne Nullstelle. Auf ${}D_{+}(Z)$ mit ${}x=X/Z$ und ${}y=Y/Z$ ist die Form gleich

${}-{\frac {1}{2y}}dx={\frac {Z^{2}}{3X^{2}+aZ^{2}}}dy=\left({\frac {3X^{2}+aZ^{2}}{Z^{2}}}\right)^{-1}dy={\left(3x^{2}+a\right)}^{-1}dy={\frac {1}{3x^{2}+a}}dy\,,$

was man auch direkt aus der affinen Gleichung ${}y^{2}=x^{3}+ax+b$ ableiten kann.

Auf einer elliptischen Kurve in Weierstraßform werden wir zumeist mit der Form ${}{\frac {dx}{y}}$ arbeiten, jede andere globale Differentialform ist ein skalares Vielfaches davon.

Beispiel

Wir betrachten die Differentialform

${}\omega =dx/y\,$

aus Beispiel (bis auf den Faktor ${}-1/2$) für ${}K={\mathbb {C} }$ auf der algebraischen Realisierung einer elliptischen Kurve

${}{\mathbb {C} }/\Gamma \cong V_{+}(F)\,$

im Sinne von Fakt. Unter der holomorphen Abbildung

$\pi \colon {\mathbb {C} }\setminus \Gamma \longrightarrow V_{+}(F)\cap D_{+}(Z),\,z\longmapsto (\wp (z),\wp '(z))=(x,y),$

gilt

${}\pi ^{*}\omega =dz\,,$

da ja ${}\pi ^{*}dx=\wp '(z)dz$ gilt (vergleiche Fakt und Fakt für das Zurückziehen von Differentialformen im reellen Fall).

Lemma

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$.

Dann ist die Garbe der Differentialformen auf ${}E$ isomorph zur Strukturgarbe von ${}E$. Insbesondere ist der Raum der globalen Differentialformen auf ${}E$ ein eindimensionaler Vektorraum über ${}K$.

Beweis

Wir können annehmen, dass ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist. Die Aussage ist somit ein Spezialfall von Fakt.

$\Box$

Man kann auch direkt mit Beispiel argumentieren.