Elliptische Kurve/Divisorenklassengruppe/Isomorphie/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über dem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ mit dem Nullpunkt ${}{\mathfrak {O}}\in E$. Es seien ${}P_{1},P_{2}\in E$.

Dann gibt es einen Punkt ${}A\in E$ derart, dass die Divisoren ${}P_{1}+P_{2}$ und ${}{\mathfrak {O}}+A$ zueinander linear äquivalent sind.

Beweis

Es sei ${}E=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ mit ${}F$ homogen vom Grad ${}3$. Bei ${}P_{1}\neq P_{2}$ betrachten wir die projektive Gerade ${}L\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ durch die beiden Punkte. Bei ${}P_{1}=P_{2}$ betrachten wir die Tangente

${}L\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ an den Punkt. Es wird ${}L$ durch eine Linearform ${}\ell _{1}\neq 0$ beschrieben. Der Weil-Divisor zu dieser Linearform ist ${}(\ell _{1})=P_{1}+P_{2}+P_{3}$, da ja ${}E\cap L$ aus drei Punkten (mit Multiplizitäten) besteht. Die Punkte ${}P_{3},{\mathfrak {O}}$ definieren in der gleichen Weise eine weitere Gerade und eine zugehörige Linearform ${}\ell _{2}$ mit ${}(\ell _{2})=P_{3}+{\mathfrak {O}}+A$. Die Funktion ${}{\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}}$ ist eine rationale Funktion auf ${}E$ und definiert den Hauptdivisor

${}{\left({\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}}\right)}=P_{1}+P_{2}+P_{3}-{\left(P_{3}+{\mathfrak {O}}+A\right)}=P_{1}+P_{2}-{\mathfrak {O}}-A\,.$

Damit ist ${}P_{1}+P_{2}={\mathfrak {O}}+A$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über dem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ mit dem Nullpunkt ${}{\mathfrak {O}}\in E$.

Dann ist die Abbildung

$E\longrightarrow \operatorname {DKG} _{0}{\left(E\right)},\,P\longmapsto P-{\mathfrak {O}},$

ein Gruppenisomorphismus.

Beweis

Wir zeigen zuerst die Injektivität. Seien ${}P,Q\in E$ verschiedene Punkte. Wenn ${}P-{\mathfrak {O}}$ und ${}Q-{\mathfrak {O}}$ zueinander linear äquivalent sind, so sind auch ${}P$ und ${}Q$ zueinander linear äquivalent. Dann gibt es eine rationale Funktion ${}f$ auf ${}E$ mit ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=P-Q$. Wenn wir ${}f$ als einen Morphismus nach ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ auffassen, so hat dieser nach Fakt den Grad ${}1$. Doch dann wäre die elliptische Kurve isomorph zu ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$, was Fakt widerspricht.

Zum Nachweis der Surjektivität sei ein Divisor ${}D$ vom Grad ${}0$ gegeben, sagen wir ${}D=P_{1}+P_{2}+\cdots +P_{n}-Q_{1}-Q_{2}-\cdots -Q_{n}$, wobei Punkte mehrfach vorkommen können. Mit Hilfe von Fakt kann man zeigen, dass dieser Divisor linear äquivalent zu

${}(n-1){\mathfrak {O}}+A-((n-1){\mathfrak {O}}+B)=A-B\,.$

Die Punkte ${}A$ und ${}{\mathfrak {O}}$ definieren wie in Fakt eine Gerade und einen dritten Schnittpunkt ${}C$. Ebenso definieren ${}B$ und ${}C$ eine Gerade und einen dritten Schnittpunkt ${}D$. Es ist dann

${}A-B\sim A-B+(B+C+D-A-{\mathfrak {O}}-C)=D-{\mathfrak {O}}\,.$

Zum Nachweis der Homomorphie seien Punkte ${}P,Q\in E$ gegeben. Es sei ${}L$ die durch ${}P$ und ${}Q$ gegebene Gerade mit der Linearform ${}\ell _{1}$ und dem dritten Schnittpunkt ${}C$ und es sei ${}L_{2}$ die Gerade durch ${}C$ und ${}{\mathfrak {O}}$ mit der Linearform ${}\ell _{2}$ und dem dritten Schnittpunkt ${}D$. Nach Definition ist ${}D$ gleich ${}P+Q$ in der Gruppenstruktur auf der elliptischen Kurve. In der Divisorenklassengruppe ist

${}{\begin{aligned}\,[P]-[{\mathfrak {O}}]+[Q]-[{\mathfrak {O}}]&=[P]+[Q]-2[{\mathfrak {O}}]\\&=[P]+[Q]-2[{\mathfrak {O}}]+[{\mathfrak {O}}]+[D]-[P]-[Q]\\&=[D]-[{\mathfrak {O}}],\end{aligned}}$

es liegt also ein Gruppenhomomorphismus vor.

$\Box$