Elliptische Kurve/Isogenie/Frobenius/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper ${}K={\mathbb {F} }_{q}$ mit ${}q=p^{e}$ Elementen und es sei

$\Phi \colon E_{\overline {K}}\longrightarrow E_{\overline {K}}$

der ${}e$-te ${}{\overline {K}}$-lineare Frobenius.

Dann ist

$[m]+n\Phi \colon E_{\overline {K}}\longrightarrow E_{\overline {K}}$

genau dann separabel, wenn ${}m$ kein Vielfaches von ${}p$ ist.

Beweis

Unter Verwendung von Fakt, Fakt und Fakt gilt für jede Differentialform ${}\omega$ die Gleichheit

${}([m]+n\Phi )^{*}\omega =m\omega +n\Phi ^{*}\omega =m\omega \,.$

Bei ${}\omega \neq 0$ ist dies genau dann gleich ${}0$, wenn ${}m=0$ ist, was bedeutet, dass ${}m$ ein Vielfaches von ${}p$ ist. Es liegt also die Alternative vor, dass bei ${}m=0$ in ${}K$ der Rückzug der Differentialformen die Nullabbildung ist und bei ${}m\neq 0$ aber surjektiv. Wegen Fakt entspricht dies den Fällen, dass der relative Kählermodul ungleich oder gleich ${}0$ ist, was nach Fakt die (Nicht-)separabilität der Erweiterung der Funktionenkörper charakterisiert.

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Korollar

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper ${}K={\mathbb {F} }_{q}$ mit ${}q=p^{e}$ Elementen und es sei

$\Phi \colon E_{\overline {K}}\longrightarrow E_{\overline {K}}$

der ${}e$-te ${}{\overline {K}}$-lineare Frobenius.

Dann ist

$\operatorname {Id} _{E}-\Phi \colon E_{\overline {K}}\longrightarrow E_{\overline {K}}$

separabel.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

$\Box$