Elliptische Kurve/Isogenie/Frobenius/Textabschnitt

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Lemma  

Es sei eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper mit Elementen und es sei

der -te -lineare Frobenius.

Dann ist

genau dann separabel, wenn kein Vielfaches von ist.

Beweis  

Unter Verwendung von Fakt, Fakt und Fakt gilt für jede Differentialform die Gleichheit

Bei ist dies genau dann gleich , wenn ist, was bedeutet, dass ein Vielfaches von ist. Es liegt also die Alternative vor, dass bei in der Rückzug der Differentialformen die Nullabbildung ist und bei aber surjektiv. Wegen Fakt entspricht dies den Fällen, dass der relative Kählermodul ungleich oder gleich ist, was nach Fakt die (Nicht-)separabilität der Erweiterung der Funktionenkörper charakterisiert.



Korollar  

Es sei eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper mit Elementen und es sei

der -te -lineare Frobenius.

Dann ist

separabel.

Beweis  

Dies folgt direkt aus Fakt.