Elliptische Kurve/Legendreform/Familie/Polynomring/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R=K[t]$ der Polynomring in einer Variablen und sei ${}K(t)=Q(K[t])$ sein Quotientenkörper. Wir betrachten die elliptische Kurve ${}E$ über ${}K(t)$, die in Legendrescher Normalform

${}y^{2}=x(x-1)(x-t)\,$

gegeben sei.

1. Zeige, dass man jede elliptische Kurve über ${}K$ in Legendrescher Normalform als Reduktion von ${}E$ mittels ${}t\mapsto \lambda$ im Sinne von Fakt erhalten kann.
2. Für welche ${}\lambda \in K$ ist die Reduktion keine elliptische Kurve?
3. Welche ${}K(t)$-rationalen Punkte von ${}E$ gibt es und welche Reduktionspunkte definieren sie?

Eine Lösung erstellen