Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+1/Endlicher Körper/Zeta-Funktion/Beispiel

Wir betrachten über dem endlichen Körper ${}\mathbb {Z} /(5)$ die elliptische Kurve ${}E$, die durch

${}y^{2}=x^{3}+1\,$

gegeben ist. Sie besitzt nach Beispiel sechs Elemente, also  ${}N_{1}=6$.  Das charakteristische Polynom der Darstellung des Frobenius auf dem Tate-Modul ist nach Fakt gleich

${}T^{2}+5=(T-{\sqrt {5}}{\mathrm {i} })(T+{\sqrt {5}}{\mathrm {i} })\,,$

also  ${}\alpha ,\beta =\pm {\sqrt {5}}{\mathrm {i} }$  in der Notation von Fakt. Die Anzahl der Punkte von ${}E$ über ${}{\mathbb {F} }_{5^{n}}$ ist

${}{\#\left(E({\mathbb {F} }_{q^{n}})\right)}=5^{n}+1-(-{\sqrt {5}})^{n}{\mathrm {i} }^{n}-{\sqrt {5}}^{n}{\mathrm {i} }^{n}=5^{n}+1-((-1)^{n}+1){\sqrt {5}}^{n}{\mathrm {i} }^{n}\,.$

Für ${}n$ ungerade ist also die Anzahl gleich ${}5^{n}+1$. Für  ${}n=2\mod 4$  ist die Anzahl gleich ${}5^{n}+1+2\cdot 5^{n/2}$ und für  ${}n=0\mod 4$  ist die Anzahl gleich ${}5^{n}+1-2\cdot 5^{n/2}$. Für gerades ${}n$ wird also die Hasse-Schranke ausgeschöpft. Die Zeta-Funktion von ${}E$ ist nach Fakt gleich

${}Z(E;t)={\frac {1+5t^{2}}{(1-t)(1-5t)}}\,.$