. Dies ist eine Spezialisierung.
. Wir fixieren ein maximales Ideal
. Nach Voraussetzung gibt es einen
-Modulisomorphismus
-
Wir schreiben das Bild des
-ten Standardvektors
als
-

mit
und
.
Es sei
das Produkt der Nenner. Wir betrachten die Situation über
. Der Isomorphismus
ist über
(auf
)
definiert, d.h. wir haben einen
-Modulhomomorphismus
-
der in der Lokalisierung an
den Isomorphismus
induziert. Allerdings ist
im Allgemeinen kein Isomorphismus. Es sei
ein Erzeugendensystem für den Modul
. Da
auf
eine Surjektion induziert, gibt es Elemente
,
die nach
abbilden. Die Nenner
gehören nicht zu
, daher können wir
durch
ersetzen und erhalten
-
mit Elementen
derart, dass die
in
auf die Erzeuger
einschränken. Dies bedeutet, dass es Elemente
mit
in
gibt. Wenn man
durch
ersetzt, erhält man, dass
ebenfalls surjektiv ist. Es sei
der Kern von
(diesem neuen)
. Da
injektiv ist, gilt
.
Da
noethersch ist, ist
nach
Fakt
endlich erzeugt
und so gibt es wiederum ein Element
,
,
mit
.
Indem wir weiter verkleinern erhalten wir einen Isomorphismus
für ein
,
.
Wir wissen also, dass es zu jedem maximalen Ideal
eine offene Umgebung
derart gibt, dass
frei vom Rang
ist. Daher enthält
-
alle maximalen Ideale und auch alle Primideale, es liegt also eine offene Überdeckung von
vor. Daher ist nach
Fakt (4)
das
Einheitsideal,
und dieses wird bereits von endlich vielen der
erzeugt.
. Da die Elemente das Einheitsideal erzeugen, überdecken die zugehörigen offenen Mengen
,
,
das Spektrum
. Da
freie
-Moduln vom Rang
sind, liegen
-Modulisomorphismen
vor. Daher ist
lokal frei.
. Sei
ein Primideal. Die lokale Freiheit bedeutet, dass wir eine offene Überdeckung
derart haben, dass die
frei vom Rang
sind. Somit gibt es einen Index
mit
.
Indem wir zu einer eventuell kleineren offenen Umgebung von
übergehen können wir
mit
übergehen. Dabei gilt, dass
frei vom Rang
ist. Doch dann ist erst recht die Lokalisierung
frei vom Rang
.