Endlich erzeugter Modul/Lokal freie Garbe/Charakterisierungen von lokal/Fakt/Beweis

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Beweis

. Dies ist eine Spezialisierung.
. Wir fixieren ein maximales Ideal . Nach Voraussetzung gibt es einen -Modulisomorphismus

Wir schreiben das Bild des -ten Standardvektors als

mit und . Es sei das Produkt der Nenner. Wir betrachten die Situation über . Der Isomorphismus ist über (auf ) definiert, d.h. wir haben einen -Modulhomomorphismus

der in der Lokalisierung an den Isomorphismus induziert. Allerdings ist im Allgemeinen kein Isomorphismus. Es sei ein Erzeugendensystem für den Modul . Da auf eine Surjektion induziert, gibt es Elemente , die nach abbilden. Die Nenner gehören nicht zu , daher können wir durch ersetzen und erhalten

mit Elementen derart, dass die in auf die Erzeuger einschränken. Dies bedeutet, dass es Elemente mit in gibt. Wenn man durch ersetzt, erhält man, dass ebenfalls surjektiv ist. Es sei der Kern von (diesem neuen) . Da injektiv ist, gilt . Da noethersch ist, ist nach Fakt endlich erzeugt und so gibt es wiederum ein Element , , mit . Indem wir weiter verkleinern erhalten wir einen Isomorphismus für ein , .

Wir wissen also, dass es zu jedem maximalen Ideal eine offene Umgebung derart gibt, dass frei vom Rang ist. Daher enthält

alle maximalen Ideale und auch alle Primideale, es liegt also eine offene Überdeckung von vor. Daher ist nach Fakt  (4) das Einheitsideal, und dieses wird bereits von endlich vielen der erzeugt.
. Da die Elemente das Einheitsideal erzeugen, überdecken die zugehörigen offenen Mengen , , das Spektrum . Da freie -Moduln vom Rang sind, liegen -Modulisomorphismen vor. Daher ist lokal frei.
. Sei ein Primideal. Die lokale Freiheit bedeutet, dass wir eine offene Überdeckung derart haben, dass die frei vom Rang sind. Somit gibt es einen Index mit . Indem wir zu einer eventuell kleineren offenen Umgebung von übergehen können wir mit übergehen. Dabei gilt, dass frei vom Rang ist. Doch dann ist erst recht die Lokalisierung frei vom Rang .

Zur bewiesenen Aussage