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Endliche Algebra über Körper/Kommutativ/Einheit und Nichtnullteiler/Aufgabe/Lösung

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Wenn eine Einheit ist, so gibt es mit . Aus folgt dann direkt

Also ist ein Nichtnullteiler.

Wenn umgekehrt ein Nichtnullteiler ist, so betrachten wir die -lineare Multiplikationsabbildung

die in diesem Fall injektiv ist. Da als Modul endlich über dem Körper ist, ist ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Nach Fakt ist dann auch surjektiv, was insbesondere bedeutet, dass es ein mit

gibt. Dies bedeutet aber, dass eine Einheit ist.