Wenn
eine
Einheit
ist, so gibt es
mit
.
Aus
folgt dann direkt
-
![{\displaystyle {}h=gfh=g0=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53557b8d5ebda06179204d370e46f94f1ec1df82)
Also ist
ein
Nichtnullteiler.
Wenn umgekehrt
ein Nichtnullteiler ist, so betrachten wir die
-lineare
Multiplikationsabbildung
-
die in diesem Fall
injektiv
ist. Da
als Modul
endlich
über dem Körper
ist, ist
ein
endlichdimensionaler
-Vektorraum.
Nach
Fakt
ist dann
auch
surjektiv,
was insbesondere bedeutet, dass es ein
mit
-
![{\displaystyle {}fg=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9807cc9df725e57afbc1b98fc64b049013daac84)
gibt. Dies bedeutet aber, dass
![{\displaystyle {}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9d898a4aa67d3184ece545a662f5c63925507e0)
eine Einheit ist.