Endliche Bewegungsgruppe/Ebene/Diedergruppe/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{2}$ eine endliche Untergruppe der linearen Bewegungsgruppe der reellen Ebene.

Dann ist ${}G$ eine zyklische Gruppe.

Beweis

Jedes Element aus ${}G$ ist nach Fakt eine Drehung der Ebene um einen bestimmten Winkel ${}\theta$ . Wir betrachten den surjektiven Gruppenhomomorphismus

\mathbb {R} \longrightarrow \operatorname {SO} _{2},\,\theta \longmapsto D(\theta )={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\theta &-\operatorname {sin} \,\theta \\\operatorname {sin} \,\theta &\operatorname {cos} \,\theta \end{pmatrix}},

der einen Winkel auf die zugehörige Drehung abbildet. Es sei ${}H\subseteq \mathbb {R}$ das Urbild von ${}G$ unter dieser Abbildung, d.h. ${}H$ besteht aus allen Drehwinkeln zu Drehungen, die zu ${}G$ gehören. Die Gruppe ${}H$ wird von einem Repräsentantensystem für die Elemente aus ${}G$ zusammen mit ${}2\pi$ erzeugt. Insbesondere ist also ${}H$ eine endlich erzeugte Untergruppe von ${}\mathbb {R}$ . Da jedes Gruppenelement aus ${}G$ eine endliche Ordnung besitzt, muss jedes ${}\theta \in H$ die Gestalt ${}\theta =2\pi q$ mit einer rationalen Zahl ${}q\in \mathbb {Q}$ haben. Dies bedeutet, dass ${}H$ eine endlich erzeugte Untergruppe von ${}2\pi \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$ ist. Damit ist ${}H$ isomorph zu einer endlich erzeugten Untergruppe der rationalen Zahlen. Nach Aufgabe ist ${}H$ zyklisch, sagen wir ${}H=\mathbb {Z} \alpha$ mit einem eindeutig bestimmten Winkel ${}\alpha \in [0,2\pi )$ . Dann ist die Gruppe ${}G$ als Bild von ${}H$ ebenfalls zyklisch.

\Box

Der eindeutig bestimmte Winkel ist dabei ${}\alpha ={\frac {2\pi }{n}}$ , wobei ${}n$ die Gruppenordnung von ${}G$ ist. Die Gruppe besteht aus den Drehmatrizen

{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&-\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}\cos \left(2{\frac {2\pi }{n}}\right)&-\sin \left(2{\frac {2\pi }{n}}\right)\\\sin \left(2{\frac {2\pi }{n}}\right)&\cos \left(2{\frac {2\pi }{n}}\right)\end{pmatrix}},\ldots ,{\begin{pmatrix}\cos \left((n-1){\frac {2\pi }{n}}\right)&-\sin \left((n-1){\frac {2\pi }{n}}\right)\\\sin \left((n-1){\frac {2\pi }{n}}\right)&\cos \left((n-1){\frac {2\pi }{n}}\right)\end{pmatrix}}.

Wenn man auch noch uneigentliche Symmetrien zulässt, so gibt es noch eine weitere Familie von endlichen Untergruppen der ${}\operatorname {O} _{2}\!$ , nämlich die Diedergruppen.

Definition

Zu einem regelmäßigen ${}n$ -Eck ( $n\geq 2$ ) heißt die Gruppe der (eigentlichen oder uneigentlichen) linearen Symmetrien die Diedergruppe ${}D_{n}$ .

Die Diedergruppe besteht aus den Drehungen des ${}n$ -Ecks und aus den Achsenspiegelungen an den folgenden Achsen durch den Nullpunkt: bei ${}n$ gerade die Achsen durch gegenüberliegende Eckpunkte und gegenüberliegende Kantenmittelpunkte, bei ${}n$ ungerade die Achsen durch einen Eckpunkt und einen gegenüberliegenden Kantenmittelpunkt.
In beiden Fällen besteht die Diedergruppe aus ${}2n$ Elementen.