Endliche Galoiserweiterung/Korrespondenz von Körpern und Gruppen/Fakt/Beweis

Beweis

Diese Abbildungen sind wohldefiniert und kehren nach Fakt die Inklusion um. Es sei ${}M$ ein Zwischenkörper. Nach Fakt ist  ${}M\subseteq L$  eine Galoiserweiterung, also ist  ${}\operatorname {Fix} \,(\operatorname {Gal} \,(L{|}M))=M$  nach Fakt.
Es sei nun ${}H$ vorgegeben mit dem Fixkörper  ${}M=\operatorname {Fix} \,(H)$.  Nach dem Satz von Artin ist  ${}M\subseteq L$  eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe  ${}H=\operatorname {Gal} \,(L{|}M)$. 

Zur bewiesenen Aussage