Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Beweis1

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Beweis

Zur Existenz. Wir wenden Fakt auf den Grundkörper und das Polynom an und erhalten einen Körper der Charakteristik , über dem in Linearfaktoren zerfällt. Nach Fakt gibt es dann einen Unterkörper von , der aus genau Elementen besteht.

Zur Eindeutigkeit. Wir zeigen, dass ein Körper mit Elementen der Zerfällungskörper des Polynoms sein muss, so dass er aufgrund dieser Eigenschaft nach Fakt eindeutig bestimmt ist. Sei also ein Körper mit Elementen, der dann als Primkörper enthält. Da genau Elemente besitzt, gilt nach Fakt die Gleichung für jedes und damit auch für jedes . Dieses Polynom vom Grad hat also in genau verschiedene Nullstellen, so dass es also über zerfällt. Zugleich ist der von allen Nullstellen erzeugte Unterkörper gleich , so dass der Zerfällungskörper ist.