Endliche Körpererweiterung/Endliche Galoisgruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Körpererweiterung besitzt ein endliches ${}K$-Algebraerzeugendensystem, also  ${}L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$.  Nach Fakt ist ein ${}K$-Algebraautomorphismus

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

durch ${}\varphi (x_{i})$, ${}i=1,\ldots ,n$, eindeutig festgelegt. Da jedes ${}x_{i}$ nach Fakt algebraisch ist, gibt es Polynome

${}F_{i}\neq 0\,$

mit  ${}F_{i}(x_{i})=0$.  Nach Fakt ist auch  ${}F_{i}(\varphi (x_{i}))=0$.  Die Polynome ${}F_{i}$ besitzen aber nach Fakt

jeweils nur endlich viele Nullstellen, sodass nur endlich viele Werte für ${}\varphi (x_{i})$ in Frage kommen.

Zur gelösten Aufgabe