Endliche Körpererweiterung/Separables Erzeugendensystem/Separabel/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Wir führen Induktion über den Grad der Körpererweiterung, wobei der Grad trivial ist. Es sei , , mit Minimalpolynom . Wir betrachten den zugehörigen Zwischenkörper

wobei die Grade mit , und mit bezeichnet seien. Es sei ein Körper, über dem und die in Linearfaktoren zerfallen. Wir betrachten die Abbildung

wobei einfach der Definitionsbereich eingeschränkt wird. Nach Fakt gibt es verschiedene -Algebrahomomorphismen von nach . Nach Induktionsvoraussetzung ist eine separable Körpererweiterung vom Grad und daher gibt es nach Fakt zu jedem fixierten -Algebrahomomorphismus von nach genau -Algebrahomomorphismen von nach , die diesen Homomorphismus fortsetzen. Die Anzahl der Elemente in den Fasern von ist also stets gleich und somit besitzt das Bild genau Elemente. Also gibt es -Algebrahomomorphismen von nach und somit ist , wiederum nach Fakt, ein separables Polynom.

Zur bewiesenen Aussage