Endliche Körpererweiterung/Separables Erzeugendensystem/Separabel/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über den Grad der Körpererweiterung, wobei der Grad ${}1$ trivial ist. Es sei ${}x\in L$, ${}x\not \in K$, mit Minimalpolynom ${}F\in K[X]$. Wir betrachten den zugehörigen Zwischenkörper

${}K\subseteq K[x]\cong K[X]/(F)\subseteq L\,,$

wobei die Grade mit ${}d_{1}=\operatorname {grad} _{K}K[x]$, ${}d_{2}=\operatorname {grad} _{K[x]}L$ und mit ${}d=d_{1}d_{2}=\operatorname {grad} _{K}L$ bezeichnet seien. Es sei ${}K\subseteq M$ ein Körper, über dem ${}F$ und die ${}F_{i}$ in Linearfaktoren zerfallen. Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(L,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(K[x],M\right)},$

wobei einfach der Definitionsbereich eingeschränkt wird. Nach Fakt gibt es ${}d$ verschiedene ${}K$-Algebrahomomorphismen von ${}L$ nach ${}M$. Nach Induktionsvoraussetzung ist ${}K[x]\subseteq L$ eine separable Körpererweiterung vom Grad ${}d_{2}$ und daher gibt es nach Fakt zu jedem fixierten ${}K$-Algebrahomomorphismus von ${}K[x]$ nach ${}M$ genau ${}d_{2}$ ${}K$-Algebrahomomorphismen von ${}L$ nach ${}M$, die diesen Homomorphismus fortsetzen. Die Anzahl der Elemente in den Fasern von ${}\Psi$ ist also stets gleich ${}d_{2}$ und somit besitzt das Bild ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(K[x],M\right)}$ genau ${}d_{1}$ Elemente. Also gibt es ${}d_{1}$ ${}K$-Algebrahomomorphismen von ${}K[x]\cong K[X]/(F)$ nach ${}M$ und somit ist ${}F$, wiederum nach Fakt, ein separables Polynom.

Zur bewiesenen Aussage