Endliche graduierte Körpererweiterung/Hinreichend viele Einheitswurzeln/Galois/Fakt/Beweis

Beweis

Die Voraussetzung über die primitiven Einheitswurzeln in Verbindung mit Fakt und Fakt  (2) sichern

${}{\#\left(D^{\vee }\right)}={\#\left(D\right)}=\operatorname {grad} _{K}L\,.$

Nach Fakt ist

${}{\#\left(D^{\vee }\right)}\leq {\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}\,.$

Also ist

${}\operatorname {grad} _{K}L\leq {\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}\,,$

und somit haben wir nach Fakt hier Gleichheit, also liegt eine Galoiserweiterung vor. Damit ist auch der nach Fakt injektive Gruppenhomomorphismus

$D^{\vee }\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$

bijektiv.

Zur bewiesenen Aussage