Endomorphismus/Eigenwert und charakteristisches Polynom/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $M$ eine beschreibende Matrix für $\phi$, und sei  $\lambda \in K$  vorgegeben. Es ist

${\chi }_M(\lambda )=det(\lambda E_n-M)=0$

genau dann, wenn die lineare Abbildung

$\lambda {\mathrm{Id}}_V-\phi$

nicht bijektiv (und nicht injektiv) ist (wegen Fakt und Fakt). Dies ist nach Fakt und Fakt äquivalent zu

${\mathrm{Eig}}_{\lambda }\left(\phi \right)=\mathrm{kern}(\lambda {\mathrm{Id}}_V-\phi )\ne 0,$

was bedeutet, dass der Eigenraum

zu $\lambda$ nicht der Nullraum ist, also $\lambda$ ein Eigenwert zu $\phi$ ist.

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