Endomorphismus/K/Potenz/Konvergenz/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Die Folge ${}\varphi ^{n}$ konvergiert in ${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$.
2. Zu jedem ${}v\in V$ konvergiert die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$, ${}n\in \mathbb {N}$.
3. Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass ${}\varphi ^{n}(v_{j})$, ${}j=1,\ldots ,m$, konvergiert.
4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ${}\varphi$ ist kleiner oder gleich ${}1$ und falls der Betrag ${}1$ ist, so ist der Eigenwert selbst ${}1$ und diagonalisierbar.
5. Für eine beschreibende Matrix ${}M$ von ${}\varphi$, aufgefasst über ${}{\mathbb {C} }$, sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich

   ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}$

   mit ${}\vert {\lambda }\vert <1$ oder gleich ${}(1)$.

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