Endomorphismus/Polynom/Einsetzung/Einführung/Textabschnitt

Zu einer linearen Abbildung

$f\colon V\longrightarrow V$

auf einem ${}K$-Vektorraum kann man die Iterationen ${}f^{n}$, also die ${}n$-fache Hintereinanderschaltung von ${}f$ mit sich selbst, betrachten. Ferner kann man lineare Abbildungen addieren und mit Skalaren aus dem Körper multiplizieren. Insgesamt sind somit Ausdrücke der Form

$a_{n}f^{n}+a_{n-1}f^{n-1}+\cdots +a_{2}f^{2}+a_{1}f+a_{0}$

selbst wieder lineare Abbildungen von ${}V$ nach ${}V$. Dabei ist

${}a_{0}=a_{0}f^{0}=a_{0}\operatorname {Id} _{V}\,$

zu interpretieren. Es ist eine von vornherein keineswegs selbstverständliche Tatsache, dass die Untersuchung solcher polynomialer Kombinationen aus ${}f$ bei der Untersuchung von ${}f$ selbst hilfreich ist. Den beschriebenen Ausdruck kann man so auffassen, dass in das Polynom ${}a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}$ für die Variable ${}X$ die lineare Abbildung ${}f$ eingesetzt wird. Diese Zuordnung durch Einsetzen besitzt die folgenden strukturellen Eigenschaften.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann erfüllt die Abbildung

$K[X]\longrightarrow \operatorname {End} _{}{\left(V\right)},\,P\longmapsto P(f),$

die folgenden Eigenschaften.

1. Für konstante Polynome ${}P=a_{0}$ ist

   ${}P(f)=a_{0}(f)=a_{0}f^{0}=a_{0}\operatorname {Id} _{V}\,.$

   Insbesondere wird das Nullpolynom auf die Nullabbildung und das konstante ${}1$-Polynom auf die Identität abgebildet.

2. Es ist

   ${}(P+Q)(f)=P(f)+Q(f)=Q(f)+P(f)\,$

   für alle Polynome ${}P,Q\in K[X]$.

3. Es ist

   ${}(P\cdot Q)(f)=P(f)\circ Q(f)=Q(f)\circ P(f)\,$

   für alle Polynome ${}P,Q\in K[X]$.

4. Es ist

   ${}(X^{n})(f)=f^{n}\,$

   für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Beweis

(1) und (4) stecken in der Definition des Einsetzungshomomorphismus drin. Daraus ergeben sich auch (2) und (3).

$\Box$

Wenn ${}V$ endlichdimensional ist, sagen wir die Dimension ${}d$ besitzt, so sind sämtliche Potenzen ${}f^{k}$, ${}k\in \mathbb {N}$, Elemente im ${}d^{2}$-dimensionalen Vektorraum

${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,V\right)}=\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}\,$

aller linearen Abbildungen von ${}V$ nach ${}V$. Wegen der Endlichkeit des Homomorphismenraumes müssen daher diese Potenzen linear abhängig sein, d.h. es gibt ein ${}m\in \mathbb {N}$ und Koeffizienten ${}a_{i}$, ${}0\leq i\leq m$, die nicht alle ${}0$ sind, mit

${}a_{m}f^{m}+a_{m-1}f^{m-1}+\cdots +a_{2}f^{2}+a_{1}f+a_{0}=0\,$

(dabei ist ${}m\leq d^{2}$ unmittelbar klar, wir werden später sehen, dass sogar stets ${}m\leq d$ ist). Das entsprechende Polynom ${}a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}$ hat also die Eigenschaft, dass es selbst nicht das Nullpolynom ist, dass aber, wenn man überall ${}X$ durch ${}f$ ersetzt, die Nullabbildung auf ${}V$ herauskommt. Wir fragen uns:

• Gibt es eine Struktur auf der Menge aller Polynome

${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$?

• Gibt es ein besonders einfaches Polynom

${}P_{0}\in K[X]$ mit ${}P_{0}(f)=0$?

• Wie kann man es finden?

• Welche Eigenschaften von ${}f$ kann man aus der Faktorzerlegung von diesem Polynom ${}P_{0}$ ablesen?

Bemerkung  

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ und es sei ${}M$ die zugehörige Matrix. Nach Fakt entsprechen sich die Verknüpfung von linearen Abbildungen und die Matrixmultiplikation. Insbesondere entsprechen sich ${}f^{n}$ und ${}M^{n}$. Ebenso entsprechen sich die Skalarmultiplikation und die Addition auf dem Endomorphismenraum ${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$ und dem Matrizenraum. Daher kann man statt mit der Zuordnung ${}P\mapsto P(f)$ genauso gut mit der Zuordnung ${}P\mapsto P(M)$ arbeiten.