Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe der Haupträume/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}$ die verschiedenen Eigenwerte von ${}\varphi$ und

${}H_{i}=\operatorname {Haupt} _{\lambda _{i}}(\varphi )\,.$

Diese Räume sind direkt nach Fakt. Das Minimalpolynom zu ${}\varphi$ hat nach Fakt die Gestalt

${}\mu =(X-\lambda _{1})^{s_{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{s_{k}}\,.$

Dabei ist

${}H_{i}=\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda _{i}\operatorname {Id} _{V}\right)}^{s_{i}}\,.$

Wir setzen

$\mu _{i}=(X-\lambda _{1})^{s_{1}}\cdots (X-\lambda _{i-1})^{s_{i-1}}(X-\lambda _{i+1})^{s_{i+1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{s_{k}}\,.$

Die ${}\mu _{1},\ldots ,\mu _{k}$ haben keinen gemeinsamen Teiler, daher gibt es nach dem Lemma von Bezout Polynome ${}P_{1},\ldots ,P_{k}$ mit

${}P_{1}\mu _{1}+\cdots +P_{k}\mu _{k}=1\,.$

Wir setzen in diese Gleichung den Endomorphismus ${}\varphi$ ein und erhalten

${}(P_{1}\mu _{1})(\varphi )+\cdots +(P_{k}\mu _{k})(\varphi )=\operatorname {Id} _{V}\,$

und speziell für jeden Vektor ${}v\in V$ die Gleichheit

${}(P_{1}\mu _{1})(\varphi )(v)+\cdots +(P_{k}\mu _{k})(\varphi )(v)=v\,.$

Wegen

${}(\varphi -\lambda _{i}\operatorname {Id} _{V})^{s_{i}}\circ \mu _{i}(\varphi )=\mu (\varphi )=0\,$

ist

${}\operatorname {bild} {\left(\mu _{i}(\varphi )\right)}\subseteq \operatorname {kern} (\varphi -\lambda _{i}\operatorname {Id} _{V})^{s_{i}}=H_{i}\,$

und damit auch

${}\operatorname {bild} {\left(\mu _{i}(\varphi )\circ P_{i}(\varphi )\right)}\subseteq H_{i}\,$

Somit zeigt die obige Gleichung, dass sich jeder Vektor ${}v$ als Summe mit Komponenten ${}v_{i}=(P_{i}\mu _{i})(\varphi )(v)\in H_{i}$ schreiben lässt.

Zur bewiesenen Aussage