Beweis
Nach
Fakt
ist
-

wobei die
die
Haupträume
zu den
Eigenwerten
seien, und es ist
-

mit
.
Es sei
-
die Hintereinanderschaltung
, d.h.
ist insbesondere eine
Projektion.
Wir setzen
-

Diese Abbildung ist offenbar diagonalisierbar, auf
ist es die Multiplikation mit
. Es sei
-

Die Nilpotenz dieser Abbildung kann man auf den
einzeln überprüfen, und dort ist
-

also nilpotent. Ferner kommutieren
und
,
da
auf
die Identität ist und auf
,
,
die Nullabbildung. Damit kommutieren auch die direkten
(skalaren)
Summen davon und damit kommutieren
und
,
also auch
und
.