Endomorphismus/Trigonalisierbar/Kanonische additive Zerlegung/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach Fakt ist

wobei die die Haupträume zu den Eigenwerten seien, und es ist

mit . Es sei

die Hintereinanderschaltung , d.h. ist insbesondere eine Projektion. Wir setzen

Diese Abbildung ist offenbar diagonalisierbar, auf ist es die Multiplikation mit . Sei

Die Nilpotenz dieser Abbildung kann man auf den einzeln überprüfen, und dort ist

also nilpotent. Ferner kommutieren und , da auf die Identität ist und auf , , die Nullabbildung. Damit kommutieren auch die direkten (skalaren) Summen davon und damit kommutieren und , also auch und .

Zur bewiesenen Aussage