Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe/Fakt

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein trigonalisierbarer ${}K$-Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$.

Dann ist ${}V$ die direkte Summe der Haupträume, also

${}V=\operatorname {Haupt} _{\lambda _{1}}(\varphi )\oplus \cdots \oplus \operatorname {Haupt} _{\lambda _{m}}(\varphi )\,,$

wobei ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m}$ die verschiedenen Eigenwerte zu ${}\varphi$ durchläuft, und ${}\varphi$ ist die direkte Summe der Einschränkungen

$\varphi _{i}=\varphi {|}_{H_{i}}\colon H_{i}\longrightarrow H_{i}$

auf den Haupträumen.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen