Euklidischer Raum/Kanonisches Volumen/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei eine Orthonormalbasis von und es sei

die dadurch definierte lineare Isometrie. Dann ist das Bildmaß nach Fakt translationsinvariant und besitzt auf dem von den erzeugten Parallelotop den Wert . Es bleibt also zu zeigen, dass dieses Maß auch jedem anderen orthonormalen Parallelotop den Wert zuweist. Sei also eine weitere Orthonormalbasis mit dem zugehörigen Parallelotop und der zugehörigen Isometrie

Dann ist

wobei den Einheitswürfel im bezeichnet. Da eine Isometrie des ist, folgt die Aussage aus Fakt.