Experimentwiederholung/Gesetz der großen Zahlen/Textabschnitt

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Wir geben hier einen weiteren Beweis für das Gesetz der großen Zahlen, der näher am üblichen wahrscheinlichkeitstheoretischen Zugang liegt als der in der Vorlesung gegebene. Allerdings werden wir die Konzepte Zufallsvariable, Erwartungswert, Varianz nur versteckt verwenden. Alles bezieht sich auf die Hintereinanderausführung eines Bernoulli-Experimentes zur Erfolgswahrscheinlichkeit . Die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen in den zugehörigen Produkträumen bezeichnen wir mit .



Lemma  

Es liege eine Bernoulli-Verteilung auf mit der Wahrscheinlichkeit für vor. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Es ist
  2. Es ist

Beweis  

  1. Es ist

    Somit ist

  2. Es ist




Korollar  

Dann ist

und

Beweis  

Die zweite Aussage folgt unmittelbar aus der ersten durch Multiplikation mit . Es ist

Für die vordere Summe ist

nach Fakt  (1).

Für die hintere Summe ist

nach Fakt  (2).




Lemma  

Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit werde -fach unabhängig voneinander durchgeführt.

Für jedes gilt dann die Tschebyschow-Abschätzung

Beweis  

Es ist

Aus Fakt folgt somit die Behauptung.




Satz  

Zu jedem

wird die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer -fachen Wiederholung eines Bernoulli-Experimentes der Abstand zwischen relativer Häufigkeit und Erfolgswahrscheinlichkeit zumindest ist, bei hinreichend großen beliebig klein.

Beweis  

Bei einer -fachen Durchführung eines Bernoulli-Experimentes ist die relative Häufigkeit die Anzahl der positiven Ausgänge dividiert durch die Anzahl der Durchführungen. Wenn man für das Experiment den Bernoulli-Raum mit ansetzt und die -fache Hintereinanderausführung durch den Produktraum beschreibt, so ist die relative Häufigkeit gleich . Der Abstand zur Erfolgswahrscheinlichkeit ist somit

Für die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Abstand größer als ist, gibt es nach Fakt die Abschätzung

Für hinreichend groß wird die rechte Seite beliebig klein.




Satz  

Zu jedem

konvergiert die Folge

gegen .

Das bedeutet, dass die relative Häufigkeit bei einem -fach wiederholten Bernoulli-Experiment zur Wahrscheinlichkeit bei hinreichend groß mit beliebig hoher Wahrscheinlichkeit im Intervall liegt.

Beweis  

Dies ergibt sich als ein Spezialfall von Fakt, wenn man ansetzt.