Exponentialsequenz/Jacobische Varietät/Kommutativität mit Serre Dualität/Fakt

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann kommutiert das Diagramm

${\begin{matrix}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})&{\stackrel {H^{1}(\exp )}{\longrightarrow }}&H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })_{0}\cong \operatorname {DKG} _{0}{\left(X\right)}&\\\!\!\!\!\!\operatorname {Res} \downarrow &&\downarrow &\\{H^{0}(X,\Omega )}^{*}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&J&\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Dabei steht links der Isomorphismus der Serre-Dualität und rechts die Abel-Jacobi-Abbildung.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen