Die horizontalen Abbildungen sind surjektiv. Da alle Abbildungen
Gruppenhomomorphismen
sind, genügt es, die Aussage für das
Erzeugendensystem
zu
von und ein irgendwie gewähltes Urbild
zu zeigen. Es sei ein stetiger Weg von nach . Die Divisorklasse wird unter der Abel-Jacobi-Abbildung auf die Auswertung für
und die Kohomologieklasse wird unter der Residuenabbildung auf die Linearform abgebildet. Es ist also
-
in zu zeigen. Wir überdecken den Weg mit Kreisscheiben und wählen Übergangspunkte. Wegen der Additivität der Abbildungen können wir annehmen, dass die beiden Punkte in einer offenen Kreisscheibe liegen. Da die Wegintegrale nur von der Homotopieklasse des Weges abhängen, kann man im Kartenbild durch den direkten linearen Weg von nach ersetzen. Es sei
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Damit sind wir in der Situation von
Beispiel,
d.h. die auf
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definierte holomorphe Funktion
-
repräsentiert eine Kohomologieklasse , die auf abbildet. Wir möchten diese Kohomologieklasse im Sinne von
Fakt
repräsentieren. Dazu seien
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offenen Scheibenumgebungen mit unterschiedlichen Radien
(im Kartenbild).
Wir können durch die entsprechende Funktion auf bzw. ersetzen. Wir wählen eine -differenzierbare Funktion
die auf den Wert und außerhalb von den Wert besitzt
(siehe
Fakt).
Diese können wir durch auf ganz fortsetzen. Die offenen Mengen
und
bilden nach wie vor eine offene Überdeckung von und die Funktion auf und auf bilden eine -Realisierung der Kohomologieklasse, da die Differenz auf dem Durchschnitt
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gleich
ist. Sei
auf . Es ist dann gleich auf , da holomorph ist, und damit ist ein globales Element von , das ein Urbild der Kohomologieklasse ist. Nach
Fakt
wird diese Form unter dem durch eine holomorphe Differentialform definierten Homomorphismus auf in abgebildet. Dieses repräsentiert das Bild der Kohomologieklasse
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wobei der Abschluss von sei und wobei die letzte Umformung statthaft ist, da ja außerhalb von gleich ist. Es sei der einfach durchlaufene Rand von . Nach Stokes ist dieses Integral gleich
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