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Exponentialsequenz/Jacobische Varietät/Kommutativität mit Serre Dualität/Fakt/Beweis

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Beweis

Die horizontalen Abbildungen sind surjektiv. Da alle Abbildungen Gruppenhomomorphismen sind, genügt es, die Aussage für das Erzeugendensystem zu von und ein irgendwie gewähltes Urbild zu zeigen. Es sei ein stetiger Weg von nach . Die Divisorklasse wird unter der Abel-Jacobi-Abbildung auf die Auswertung für und die Kohomologieklasse wird unter der Residuenabbildung auf die Linearform abgebildet. Es ist also

in zu zeigen. Wir überdecken den Weg mit Kreisscheiben und wählen Übergangspunkte. Wegen der Additivität der Abbildungen können wir annehmen, dass die beiden Punkte in einer offenen Kreisscheibe liegen. Da die Wegintegrale nur von der Homotopieklasse des Weges abhängen, kann man im Kartenbild durch den direkten linearen Weg von nach ersetzen. Es sei

Damit sind wir in der Situation von Beispiel, d.h. die auf

definierte holomorphe Funktion

repräsentiert eine Kohomologieklasse , die auf abbildet. Wir möchten diese Kohomologieklasse im Sinne von Fakt repräsentieren. Dazu seien

offenen Scheibenumgebungen mit unterschiedlichen Radien (im Kartenbild). Wir können durch die entsprechende Funktion auf bzw. ersetzen. Wir wählen eine -differenzierbare Funktion die auf den Wert und außerhalb von den Wert besitzt (siehe Fakt). Diese können wir durch auf ganz fortsetzen. Die offenen Mengen und bilden nach wie vor eine offene Überdeckung von und die Funktion auf und auf bilden eine -Realisierung der Kohomologieklasse, da die Differenz auf dem Durchschnitt

gleich ist. Sei auf . Es ist dann gleich auf , da holomorph ist, und damit ist ein globales Element von , das ein Urbild der Kohomologieklasse ist. Nach Fakt wird diese Form unter dem durch eine holomorphe Differentialform definierten Homomorphismus auf in abgebildet. Dieses repräsentiert das Bild der Kohomologieklasse

wobei der Abschluss von sei und wobei die letzte Umformung statthaft ist, da ja außerhalb von gleich ist. Es sei der einfach durchlaufene Rand von . Nach Stokes ist dieses Integral gleich