Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Fakt

Serre-Dualität

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$.

Dann definiert die natürliche Abbildung

$\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {L}},\Omega _{X}\right)}\times H^{1}(X,{\mathcal {L}})\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(\theta ,c)\longmapsto \operatorname {Res} _{}\left(H^{1}(\theta )(c)\right),$

eine vollständige Dualität.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen