Riemannsche Fläche/Zwei Punkte in Kreisscheibe/Verbindung/Kohomologische Divisorliftung/Beispiel

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche und ${}U_{1}\subseteq X$ eine offene Kreisscheibe mit zwei Punkten ${}P,Q\in U_{1}$. Es sei ${}\gamma$ die (auf der Karte) lineare Verbindung von ${}Q$ nach ${}P$. Wir setzen

${}U_{2}:=X\setminus \gamma ([0,1])\,,$

insbesondere bilden die beiden offenen Mengen ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ eine offene Überdeckung von ${}X$. Dabei ist

${}U_{1}\cap U_{2}=U_{1}\setminus \gamma ([0,1])\,$

homöomorph zu einer mit einem abgeschlossenen Intervall geschlitzten Kreisscheibe. Eine holomorphe Funktion ${}h$ auf ${}U_{1}\cap U_{2}$ definiert als Čech-Kozykel eine erste Kohomologieklasse von ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und eine nullstellenfreie holomorphe Funktion darauf definiert eine erste Kohomologieklasse von ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$. Unter der langen exakten Sequenz zur Exponentialsequenz (siehe Fakt) wird ${}h$ auf ${}e^{h}$ abgebildet. Dabei wird die in Beispiel eingeführte Funktion ${}\ln \left(z-P\right)-\ln \left(z-Q\right)$, aufgefasst auf ${}U_{1}\cap U_{2}$, auf

${}e^{\ln \left(z-P\right)-\ln \left(z-Q\right)}={\frac {z-P}{z-Q}}\,$

abgebildet, was eine Kohomologieklasse in ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$ definiert. Wir verwenden Fakt und betrachten den Divisor ${}P-Q$. Dieser ist auf ${}U_{1}$ der Hauptdivisor zu ${}{\frac {z-P}{z-Q}}$ und auf ${}U_{2}$ der Hauptdivisor zu ${}1$. Somit wird dieser Divisor unter dem verbindenden Homomorphismus auf diese Kohomologieklasse abgebildet.