Riemannsche Fläche/Zwei Punkte in Kreisscheibe/Verbindung/Kohomologische Divisorliftung/Beispiel

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche und  $U_1\subseteq X$  eine offene Kreisscheibe mit zwei Punkten  $P,Q\in U_1$.  Es sei $\gamma$ die (auf der Karte) lineare Verbindung von $Q$ nach $P$. Wir setzen

$U_2:=X\setminus \gamma ([0,1]),$

insbesondere bilden die beiden offenen Mengen $U_1$ und $U_2$ eine offene Überdeckung von $X$. Dabei ist

$U_1\cap U_2=U_1\setminus \gamma ([0,1])$

homöomorph zu einer mit einem abgeschlossenen Intervall geschlitzten Kreisscheibe. Eine holomorphe Funktion $h$ auf $U_1\cap U_2$ definiert als Čech-Kozykel eine erste Kohomologieklasse von $H^1(X,{𝒪}_X)$ und eine nullstellenfreie holomorphe Funktion darauf definiert eine erste Kohomologieklasse von $H^1(X,{𝒪}_X^{\times })$. Unter der langen exakten Sequenz zur Exponentialsequenz (siehe Fakt) wird $h$ auf $e^h$ abgebildet. Dabei wird die in Beispiel eingeführte Funktion $\ln (z-P)-\ln (z-Q)$, aufgefasst auf $U_1\cap U_2$, auf

$e^{\ln (z-P)-\ln (z-Q)}=\frac{z-P}{z-Q}$

abgebildet, was eine Kohomologieklasse in $H^1(X,{𝒪}_X^{\times })$ definiert. Wir verwenden Fakt und betrachten den Divisor $P-Q$. Dieser ist auf $U_1$ der Hauptdivisor zu $\frac{z-P}{z-Q}$ und auf $U_2$ der Hauptdivisor zu $1$. Somit wird dieser Divisor unter dem verbindenden Homomorphismus auf diese Kohomologieklasse abgebildet.