Extrema/Nebenbedingung/Allgemein/Fakt

Satz über lokale Extrema unter Nebenbedingungen

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und sei

f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}

eine stetig differenzierbare Abbildung, ${}n\geq m$ . Es sei ${}M=f^{-1}(b)$ die Faser von ${}f$ über ${}b\in \mathbb {R} ^{m}$ . Es sei

h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}

eine differenzierbare Funktion und die eingeschränkte Funktion ${}h{|}_{M}$ besitze im Punkt ${}a\in M$ ein lokales Extremum auf ${}M$ und ${}a$ sei ein regulärer Punkt von ${}f$ .

Dann ist

${}T_{a}M\subseteq \operatorname {kern} \left(Dh\right)_{a}\,,$

d.h. die Linearform ${}\left(Dh\right)_{a}$ verschwindet auf dem Tangentialraum an der Faser von ${}f$ durch ${}a$ .

Die Linearform ${}\left(Dh\right)_{a}$ ist eine Linearkombination aus den Linearformen

\left(Df_{1}\right)_{a},\ldots ,\left(Df_{m}\right)_{a}.