Extrema/Nebenbedingung/Allgemein/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wenden den Satz über implizite Abbildungen auf den Punkt $a \in M$ an. Es gibt also eine offene Menge $a \in W$ , $W \subseteq U$ , eine offene Menge $V \subseteq ℝ^{n - m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

ψ : V ⟶ W

derart, dass $ψ (V) \subseteq M \cap W$ ist und $ψ$ eine Bijektion

ψ : V ⟶ M \cap W

induziert. Dabei ist $ψ$ in jedem Punkt $Q \in V$ regulär und für das totale Differential von $ψ$ gilt

{(D f)}_{ψ (Q)} \circ {(D ψ)}_{Q} = 0 .

Da $h |_{M}$ in $a$ ein lokales Extremum besitzt, besitzt auch $h \circ ψ$ in $Q = ψ^{- 1} (a)$ (also $a = ψ (Q)$ ) ein lokales Extremum. Nach Fakt (2) ist daher

{(D (h \circ ψ))}_{Q} = {(D h)}_{ψ (Q)} \circ {(D ψ)}_{Q} = 0 .

Somit ist einerseits

bild {(D ψ)}_{Q} \subseteq kern {(D h)}_{a}

und andererseits

bild {(D ψ)}_{Q} = kern {(D f)}_{a} = T_{a} M .

Der Zusatz folgt, da $kern {(D f)}_{a}$ der Durchschnitt der $kern {(D f_{i})}_{a}, i = 1, \dots, m$ , ist und somit

⋂_{i = 1}^{m} kern {(D f_{i})}_{a} \subseteq kern {(D h)}_{a}

gilt. Nach Aufgabe folgt daraus, dass ${(D h)}_{a}$ zu dem von ${(D f_{1})}_{a}, \dots, {(D f_{m})}_{a}$ erzeugten Untervektorraum gehört.

Zur bewiesenen Aussage