Extrema/Nebenbedingung/Allgemein/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wenden den Satz über implizite Abbildungen auf den Punkt ${}a\in M$ an. Es gibt also eine offene Menge ${}a\in W$, ${}W\subseteq U$, eine offene Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow W$

derart, dass ${}\psi (V)\subseteq M\cap W$ ist und ${}\psi$ eine Bijektion

$\psi \colon V\longrightarrow M\cap W$

induziert. Dabei ist ${}\psi$ in jedem Punkt ${}Q\in V$ regulär und für das totale Differential von ${}\psi$ gilt

${}\left(Df\right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.$

Da ${}h{|}_{M}$ in ${}a$ ein lokales Extremum besitzt, besitzt auch ${}h\circ \psi$ in ${}Q=\psi ^{-1}(a)$ (also ${}a=\psi (Q)$) ein lokales Extremum. Nach Fakt  (2) ist daher

${}\left(D{\left(h\circ \psi \right)}\right)_{Q}=\left(Dh\right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.$

Somit ist einerseits

${}\operatorname {bild} \left(D\psi \right)_{Q}\subseteq \operatorname {kern} \left(Dh\right)_{a}\,$

und andererseits

${}\operatorname {bild} \left(D\psi \right)_{Q}=\operatorname {kern} \left(Df\right)_{a}=T_{a}M\,.$

Der Zusatz folgt, da ${}\operatorname {kern} \left(Df\right)_{a}$ der Durchschnitt der ${}\operatorname {kern} \left(Df_{i}\right)_{a},\,i=1,\ldots ,m$, ist und somit

${}\bigcap _{i=1}^{m}\operatorname {kern} \left(Df_{i}\right)_{a}\subseteq \operatorname {kern} \left(Dh\right)_{a}\,$

gilt. Nach Aufgabe folgt daraus, dass ${}\left(Dh\right)_{a}$ zu dem von ${}\left(Df_{1}\right)_{a},\ldots ,\left(Df_{m}\right)_{a}$ erzeugten Untervektorraum gehört.

Zur bewiesenen Aussage