Extrema/Nebenbedingung/Allgemein/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir wenden den Satz über implizite Abbildungen auf den Punkt an. Es gibt also eine offene Menge , , eine offene Menge und eine stetig differenzierbare Abbildung

derart, dass ist und eine Bijektion

induziert. Dabei ist in jedem Punkt regulär und für das totale Differential von gilt

Da in ein lokales Extremum besitzt, besitzt auch in (also ) ein lokales Extremum. Nach Fakt  (2) ist daher

Somit ist einerseits

und andererseits

Der Zusatz folgt, da der Durchschnitt der , ist und somit

gilt. Nach Aufgabe folgt daraus, dass zu dem von erzeugten Untervektorraum gehört.

Zur bewiesenen Aussage