Extrema/x sin y/Geradeneinschränkungen/Aufgabe/Lösung

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  1. Die Jacobi-Matrix ist

    Für einen kritischen Punkt müssen beide Komponenten sein. Aus der ersten Komponente folgt und daraus aus der zweiten Komponente , da der Kosinus an den Nullstellen des Sinus keine Nullstelle besitzt. Die kritischen Punkte haben also die Gestalt

    mit .

  2. Zur Bestimmung der lokalen Extrema betrachten wir die Hesse-Matrix, diese ist

    In einem kritischen Punkt ist diese

    und zwar hängt das Vorzeichen davon ab, ob gerade oder ungerade ist. Das charakteristische Polynom ist

    Die Hesse-Matrix hat somit einen positiven und einen negativen Eigenwert und nach Fakt ist ihr Typ . Daher ist sie indefinit und nach Fakt gibt es keine lokalen Extrema.

  3. Auf der Diagonalen wird die Funktion zu . Für hat den Wert . Deshalb muss zwischen zwei solchen benachbarten Nullstellen nach Fakt jeweils ein Maximum oder ein Minimum angenommen werden.
  4. Die Funktion hat im Nullpunkt den Wert . Für echt zwischen und sind im positiven Bereich beide Faktoren positiv und im negativen Bereich beide Faktoren negativ. Damit ist auf diesem Intervall außerhalb des Nullpunktes positiv und somit liegt im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum vor.