Extrema/x sin y/Geradeneinschränkungen/Aufgabe/Lösung

1. Die Jacobi-Matrix ist

   $\left(\sin y,\,x\cos y\right).$

   Für einen kritischen Punkt müssen beide Komponenten ${}0$ sein. Aus der ersten Komponente folgt ${}y\in \mathbb {Z} \pi$ und daraus aus der zweiten Komponente ${}x=0$, da der Kosinus an den Nullstellen des Sinus keine Nullstelle besitzt. Die kritischen Punkte haben also die Gestalt

   $(0,n\pi )$

   mit ${}n\in \mathbb {Z}$.

2. Zur Bestimmung der lokalen Extrema betrachten wir die Hesse-Matrix, diese ist

   ${\begin{pmatrix}0&\cos y\\\cos y&-x\sin y\end{pmatrix}}.$

   In einem kritischen Punkt ${}(0,n\pi )$ ist diese

   ${\begin{pmatrix}0&\pm 1\\\pm 1&0\end{pmatrix}},$

   und zwar hängt das Vorzeichen davon ab, ob ${}n$ gerade oder ungerade ist. Das charakteristische Polynom ist

   ${}\chi _{}\,(\lambda )=\det {\begin{pmatrix}\lambda &\mp 1\\\mp 1&\lambda \end{pmatrix}}=\lambda ^{2}-1=(\lambda -1)(\lambda +1)\,.$

   Die Hesse-Matrix hat somit einen positiven und einen negativen Eigenwert und nach Fakt ist ihr Typ ${}(1,1)$. Daher ist sie indefinit und nach Fakt gibt es keine lokalen Extrema.

3. Auf der Diagonalen wird die Funktion zu ${}g(x)=x\sin x$. Für ${}x\in \mathbb {Z} \pi$ hat ${}g$ den Wert ${}0$. Deshalb muss zwischen zwei solchen benachbarten Nullstellen nach Fakt jeweils ein Maximum oder ein Minimum angenommen werden.
4. Die Funktion ${}x\sin x$ hat im Nullpunkt den Wert ${}0$. Für ${}x$ echt zwischen ${}-{\frac {\pi }{2}}$ und ${}{\frac {\pi }{2}}$ sind im positiven Bereich beide Faktoren positiv und im negativen Bereich beide Faktoren negativ. Damit ist ${}x\sin x$ auf diesem Intervall außerhalb des Nullpunktes positiv und somit liegt im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum vor.

Zur gelösten Aufgabe