Funktionentheorie/Algebraische Begriffe/Textabschnitt
Ein kommutativer, nullteilerfreier, von verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
Ein Element in einem kommutativen Ring heißt Einheit, wenn es ein Element mit gibt.
Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ein Produkt mit , so teilt einen der Faktoren.
Zwei Elemente und eines kommutativen Ringes heißen assoziiert, wenn es eine Einheit derart gibt, dass ist.
Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- .
- Für alle ist auch .
- Für alle und ist auch .
Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.
Sowohl die ganzen Zahlen als auch der Polynomring über einem Körper bilden einen Hauptidealbereich, was in beiden Fällen auf der Division mit Rest beruht, siehe Fakt.
![{\displaystyle {}K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7861df9df3d7463835d927c4d0d4c27f5e2f8416)
Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt maximales Ideal, wenn ist und wenn es zwischen und keine weiteren Ideale gibt.
Ein kommutativer Ring heißt lokal, wenn genau ein maximales Ideal besitzt.
Ein diskreter Bewertungsring ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in gibt.
Es sei eine Primzahl und sei
die sogenannte Lokalisierung am maximalen Ideal . Dann ist ein diskreter Bewertungsring. ist ein Hauptidealbereich, da ja ein Hauptidealbereich ist. Die Ideale von sind das Nullideal und die Ideale mit . Die beiden einzigen Primideale von sind , und Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf Assoziiertheit auch nur ein Primelement geben, nämlich .
