Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine reell total differenzierbare Abbildung derart, dass das totale Differential in jedem Punkt invertierbar sei. Dann ist ${}f$ auf ${}G$ genau dann komplex differenzierbar, wenn ${}\left(Df\right)_{P}$ in jedem Punkt ${}P\in G$ winkeltreu und orientierungstreu ist.
2. Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion und ${}a\in U$ ein Punkt. Dann wird ${}f$ in einer Umgebung von ${}a$ durch die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ beschrieben, wobei die Koeffizienten durch

   ${}c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\,$

   gegeben sind, und ${}\gamma$ einen einfachen Umlaufweg um ${}a$ innerhalb von ${}U$ bezeichnet.
3. Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, ${}D\subseteq G$ eine endliche Teilmenge,

   $\gamma \colon I\longrightarrow G\setminus D$

   ein geschlossener stetiger Weg und sei

   $f\colon G\setminus D\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   eine holomorphe Funktion.

   Dann ist

   ${}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f(z)dz=\sum _{P}\operatorname {ind} _{\gamma }(P)\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)\,,$

   wobei über alle Punkte ${}P\in D$

   summiert wird.

Zur gelösten Aufgabe