Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

1. Es sei  $G\subseteq ℂ$  offen und $f:G\to ℂ$ eine reell total differenzierbare Abbildung derart, dass das totale Differential in jedem Punkt invertierbar sei. Dann ist $f$ auf $G$ genau dann komplex differenzierbar, wenn ${\left(Df\right)}_P$ in jedem Punkt  $P\in G$  winkeltreu und orientierungstreu ist.
2. Es sei  $U\subseteq ℂ$  offen, $f:U\to ℂ$ eine komplex differenzierbare Funktion und  $a\in U$  ein Punkt. Dann wird $f$ in einer Umgebung von $a$ durch die Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n$ beschrieben, wobei die Koeffizienten durch

   $c_n=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\gamma }\frac{f(z)}{(z-a{)}^{n+1}}dz$

   gegeben sind, und $\gamma$ einen einfachen Umlaufweg um $a$ innerhalb von $U$ bezeichnet.
3. Es sei  $G\subseteq ℂ$  ein einfach zusammenhängendes Gebiet,  $D\subseteq G$  eine endliche Teilmenge,

   $\gamma :I⟶G\setminus D$

   ein geschlossener stetiger Weg und sei

   $f:G\setminus D⟶ℂ$

   eine holomorphe Funktion.

   Dann ist

   $\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{\gamma }f(z)dz=\sum _P{\mathrm{ind}}_{\gamma }(P){\mathrm{Res}}_P\left(f\right),$

   wobei über alle Punkte  $P\in D$ 

   summiert wird.

Zur gelösten Aufgabe