Fuzzylogik

Begriff - Fuzzylogik

Fuzzylogik (engl. fuzzy ‚verwischt‘, ‚verschwommen‘, ‚unbestimmt‘; fuzzy logic, fuzzy theory ‚unscharfe Logik‘ bzw. ‚unscharfe Theorie‘) ist eine Theorie, welche vor allem für die Modellierung von Unsicherheit und Vagheit von umgangssprachlichen Beschreibungen entwickelt wurde. Sie ist eine Verallgemeinerung der zweiwertigen Booleschen Logik.

Gliederung

Aufgabe - Entscheidungen - Wahrnehmung

Betrachten Sie Entscheidungsprozesse im Alltag oder Beurteilungen, Einschätzung, Bewertungen, Wahrnehmungen... .

Welche dieser Aspekte können Sie eher mit der Fuzzylogik verbinden?
Welche dieser Aspekte könnte eher durch die klassische Logik beschrieben werden?

Aufgabe - Klassifikation der Beispiele

Klassifizieren Ihre Beispiele

Die Klausur hat die Schülerin bestanden (wahr 1, falsch 0- klassische Logik).
Der Student hat Schmerzen (Schmerzn können ansteigen und schwächer werden - es gibt Zwischenzustände zwischen 0 kein Schmerz und 1 unerträglicher Schmerz - Fuzzylogik).

Erweitern Sie Ihre Beispiele mit Erläuterungen in dem oben angegebenen Weise.

Beispiele allgemein

Beispielsweise kann damit die sogenannte Fuzziness von Angaben wie „ein bisschen“, „ziemlich“, „stark“ oder „sehr“ in mathematischen Modellen erfasst werden. Die Fuzzylogik basiert auf den Fuzzy-Mengen (Fuzzy-Sets) und sogenannten Zugehörigkeitsfunktionen, die Objekte auf Fuzzy-Mengen abbilden, sowie passenden logischen Operationen auf diesen Mengen und ihrer Inferenz. Bei technischen Anwendungen müssen außerdem Methoden zur Fuzzyfizierung und Defuzzyfizierung betrachtet werden, das heißt Methoden zur Umwandlung von Angaben und Zusammenhängen in Fuzzylogik und wieder zurück, zum Beispiel als Stellwert für eine Heizung als Resultat.

Mehrwertige Logik

Die Fuzzy-Set-Theorie ist von der mehrwertigen Logik zu unterscheiden, die in den 1920er Jahren der polnische Logiker Jan Łukasiewicz beschrieb. Im engeren Sinne kann die so genannte Fuzzylogik zwar als eine mehrwertige Logik gedeutet werden, und insofern gibt es eine gewisse Nähe zur mehrwertigen Logik, für deren Wahrheitswert einer logischen Aussage Zahlen aus dem reellen Einheitsintervall [0, 1] (die reellen Zahlen von 0 bis 1) verwendet werden.

Fuzzy-Technologie

Die Fuzzy-Technologie nahm in den 1980er Jahren vor allem in Japan ihren Aufschwung mit der sogenannten japanischen Fuzzy-Welle. Ein historisches Beispiel ist die Regelung der vollautomatischen U-Bahn Sendai, die erste erfolgreiche Großanwendung mit Fuzzylogik in der Praxis. Später fand die Fuzzylogik auch in Geräten der Unterhaltungselektronik breite Anwendung. Die europäische Fuzzy-Welle kam erst Mitte der 1990er Jahre, als die Grundsatzdiskussionen über die Fuzzylogik verebbten.

Aufgabe - Fuzzy-Controller

Sei $\Omega :=[-20,50]$ das Temperaturintervall von -20 bis +50 Grad. Betrachtet man z.B. die Temperatureinstellung für einen Raum, so kann man an dem Regelverhalten der Nutzer:innen für die Heizkörper im Raum erkennen, ob es den Nutzer:innen im Raum zu warm oder zu kalt ist.

Zeichnen Sie für Ihr gegenwärtiges Temperaturempfinden eine Zugehörigkeitsfunktion für $\mu _{kalt}:\Omega \to [0,1]$ .
Erläutern Sie, wie man eine Zugehörigkeitsfunktion $\mu _{kalt}:\Omega \to [0,1]$ aus dem Regelungsverhalten der Nutzer:innen ermitteln kann, wenn der Fuzzy-Controller gleichzeitig einen Temperatursensor besitzt.
Wie kann man damit einen lernfähigen Fuzzy-Controller erstellen, der die Temperatur automatisch für die Nutzer:innen regelt in Abhängigkeit von der (Jahres-)Zeit regelt? (siehe auch Maschinelles Lernen)

Definition - Integrable Zugehörigkeitsfunktion

Eine Zugehörigkeitsfunktion $\mu _{A}:X\to [0,1]$ , die bzgl. einen Maßes $\lambda$ auf $X$ eine integrable Abbildung ist, nennt man integrable Zugehörigkeitsfunktion und notiert dieses als Integral:

\int _{X}\mu _{A}(x)\,d\lambda (x)

Bemerkung - Mittlere Zugehörigkeit auf einer Menge

Das Integral über die Zugehörigkeitsfunktion, die jedem Element $x\in X$ der Definitionsmenge X eine Zahl aus dem reellwertigen Intervall [0,1] der Zielmenge zuordnen, erlaubt eine mittlere Zugehörigkeit zu ermitteln, wenn das Maß auf $X$ endlich ist. Der folgende Quotient gibt dann die mittlere Zugehörigkeit an.

Definition - Mittlere Zugehörigkeit auf einer Menge

Sei $\mu :X\to \mathbb {R}$ eine Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktion und $A\subseteq X$ eine Menge ist, für die die Indikatorfunktion $I_{_{A}}$ integrabel ist, dann definiert der Quotient

E(\mu ,A):={\frac {\int _{X}\mu (x)\cdot I_{_{A}}(x)\,dx}{\int _{X}I_{_{A}}(x)\,dx}}

die mittlere Zugehörigkeit von $\mu$ für die Menge $A$ . Dabei ist $I_{_{A}}:X\to \mathbb {R}$ die Indikatorfunktion für eine messbare Menge $A$ , wobei $I_{_{A}}(x)=1$ für $x\in A$ und $I_{_{A}}(x)=0$ für $x\notin A$ gilt.

Bemerkung zum Quotienten

Der Nenner $\int _{X}I_{_{A}}(x)\,dx$ liefert allgemein das Volumen der Menge $A$ im $\mathbb {R} ^{n}$ (z.B. im Beispiel im $\mathbb {R} ^{2}$ den Flächeninhalt von $A$ .

Bemerkung zur Messbarkeit

Im Allgemeinen ist nicht jede Teilmenge $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ messbar.

Anwendungsbeispiel - Mittlere Zugehörigkeit

Man betrachtet nun $X$ als eine Grundfläche von einem Land. Die Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktion $\mu :X\to \mathbb {R}$ beschreibt die Wasserverfügbarkeit für Pflanzen im Boden. $\mu (x)=1$ bedeutet ideale Wasserversorgung für Pflanzen und $\mu (x)=0$ bedeutet, dass kein Wasser für Pflanzen verfügbar ist. $E(\mu ,A)$ für eine landwirtschaftliche Nutzfläche $A$ beschreibt nun die mittlere Güte der Wasserversorgung für Pflanzen auf der Fläche $A$ .

Bemerkung - Integrable Zugehörigkeitsfunktionen

Für die obige Definition ist es notwendig, dass die Zugehörigkeitsfunktionen $\mu _{A}$ und die Indikatorfunktion $\chi _{_{A}}$ integrable Funktionen sind.

Aufgabe - sigma-endliche Maße

Wie kann man die obige Definition auf $\sigma$ -endliche Maße erweitern?

Bemerkung - Indikatorfunktion - scharfe Mengen

Damit sind Zugehörigkeitsfunktionen ein Spezialfall einer Indikatorfunktion $\chi _{A}:\Omega \to \{0,1\}$ , die zum Element der Grundmenge $A$ angibt, ob $x$ zur Menge gehört $\chi _{_{A}}(x)=1$ bzw. nicht zur Menge gehört $\chi _{_{A}}(x)=0$ .

Aufgabe

Wenn eine Fuzzy-Funktion den Zugehörigkeitsgrad $\mu _{A}(x)$ von jedem Elements x zur so definierten unscharfen Menge A angibt, können Sie damit auch ein Wahrscheinlichkeitmaß angeben, das jeder Fuzzymenge $A$ analog zu eine crispen/scharfen Menge eine Wahrscheinlichkeit $P(A)$ zuordnet. Erläutern Sie, wie das mit Maßtheorie und einem auf 1 normierten endlichen positiven Maß möglich ist.

Ursprung der Zugehörigkeitsfunktion

Zadeh erklärte hierzu neue Mengenoperationen, die als Operationen eines neuen Logikkalküls die mehrwertige Fuzzylogik begründen und sie als eine Verallgemeinerung der zweiwertigen, klassischen Logik ausweisen, welche als Spezialfall in ihr enthalten ist. Diese Operationen auf unscharfen Mengen sind wie auf scharfen Mengen definierbar, wie z. B. die Bildung von Schnittmengen (UND), Vereinigungsmengen (ODER) und Komplementmengen (NICHT). Zur Modellierung der logischen Operatoren der Konjunktion (UND), der Disjunktion (ODER) und der Negation (NICHT) bedient man sich der Funktionsklassen der T-Norm und T-Conorm.

Räumliche Zugehörigkeitsfunktionen

CAS4Wiki: Darstellung einer räumlichen Zugehörigkeitsfunktion, bei dem der Definitionsbereich ein Rechteck in der Ebene darstellt,

Aufgabe

Erzeugen Sie die Fuzzy-Funktion

fuzzy(x,y)=f_{\text{blau}}(x,y)\land f_{\text{rot}}(x,y)\Rightarrow f_{\text{grün}}(x,y)

. \\

Nutzen Sie hierfür die Daten aus der GeoGebra-Datei (Github) und erzugen Sie Glockenkurzen um die Punkte herum mit $f(x,y,x_{0},y_{0},s,h)={\frac {h}{1+{\frac {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}{s^{2}}}}}$ .

Fuzzyfunktionen

In vielen Fällen werden Fuzzyfunktionen über Tabellen aus statistischen Erhebungen erzeugt. Diese können auch von der Anwendung selbst erhoben werden soweit eine Rückkopplung gegeben ist, wie in der Fahrstuhlsteuerung. Praktisch bedeutsam ist auch, die Erfahrungen und Intuitionen eines Experten auf dem jeweiligen Gebiet in eine Fuzzyfunktion mit einfließen zu lassen, insbesondere dann, wenn überhaupt keine statistischen Aussagen vorhanden sind, beispielsweise dann, wenn es sich um ein komplett neu zu beschreibendes System handelt.

Diese Dreiecksgestalt ist allerdings keineswegs zwingend, generell können die Werte von Fuzzy-Funktionen beliebige Gestalt haben, solange deren Funktionswerte im Intervall [0,1] bleiben. In der Praxis werden solche Dreieckfunktionen aufgrund ihrer einfachen Berechenbarkeit jedoch gerne verwendet. Relativ weit verbreitet sind noch Trapeze (nicht notwendigerweise spiegelsymmetrisch), aber auch Halbkreise finden sich in einigen Anwendungen. Auch können sich prinzipiell mehr als zwei Abschnitte einer Fuzzy-Funktion überlappen (beim hier betrachteten Beispiel scheint das aber nicht sinnvoll zu sein).

Beispiel für eine nicht-lineare Fuzzy-Funktion

Ein Beispiel für eine nicht-lineare Zugehörigkeitsfunktion bildet die folgende Sigmoidfunktion:

$S(x,x_{o},\delta )={\begin{cases}0&x\leq x_{o}-\delta \\2({\frac {x-x_{o}+\delta }{2\delta }})^{2}&x_{o}-\delta <x\leq x_{o}\\1-2({\frac {x_{o}-x+\delta }{2\delta }})^{2}&x_{o}<x\leq x_{o}+\delta \\1&x>x_{o}+\delta \end{cases}}$

Bedeutung der Parameter

$x_{o}\in \mathbb {R}$ : Der Parameter $x_{o}\in \mathbb {R}$ gibt hierbei den Wendepunkt der S-Kurve an
$\delta \in \mathbb {R}$ der Wert $\delta >0$ bestimmt die Neigung der Kurve. Je größer δ gewählt wird, desto flacher wird der Verlauf der resultierenden Funktion.

Symmetrieeigenschaften der sigmoiden Funktion

Die obige sigmoide Zugehörigkeitsfunktion ist punktsymmetrisch an dem Punkt $\left(x_{o},{\frac {1}{2}}\right)\in \mathbb {R} ^{2}$ .

Aufgabe - Punktsymmetrie

Wie kann man die Punktsymmetrie and einem Punkt $(x_{o},y_{o})\in \mathbb {R} ^{2}$ formal beschreiben?
Weisen Sie formal nach, dass die obige sigmoide Funktion Punktsymmetrisch an dem Punkt $\left(x_{o},{\frac {1}{2}}\right)\in \mathbb {R} ^{2}$ .

Bezeichnung - Sigmoid - S-förmig

Die Kurve drückt durch die Form des Buchstabens S eine ansteigende Zugehörigkeit zu der jeweils beschriebenen Menge durch einen Wert im Wertebereich [0,1] aus.

Bemerkung - ansteigende bzw. abfallende Zugehörigkeitsfunktion

Je nach Anwendungsfall lässt sich aus der obigen monoton wachsenden Zugehörigkeitsfunktion eine abnehmende Zugehörigkeit durch eine entsprechende Z-Kurve ausdrücken:

Z(x,x_{o},\delta )=1-S(x,a,\delta )

Die entspricht einer Negation ${\widetilde {\neg }}S:=1-S$ , die man auf die Zugehörigkeitsfunktion $S$ anwendet.

Beispiel Graph der Zugehörigkeitsfunktion

Fuzzyzugehörigkeitsfunktion für den linguistischen Wert "alt", der für das gesamte Intervall von 0 bis 100 die Gültigkeit von "alt" angibt.

Linguistischer Wert

In dieser Lerneinheit liefert der linguistische Wert (z.B. "alt") eine sprachliche Beschreibung einer Eigenschaft, dessen mathematische Quantifikation durch eine Zugehörigkeitsfunktion beschrieben wird.

Individuelle Definition der Zugehörigkeitsfunktion

Die Festlegung der Zugehörigkeitsfunktion (z.B. durch maschinelles Lernen) ist in der Regel individuell und zeitabhängig. Aus der Sicht eines 6-jährigen Kindes ist eine 25-jährige Person alt, während die gleiche 25-jährige Person aus der Sicht einer 80-jährigen Person nicht alt ist. Diese individuelle, zeitabhängige Definition von Zugehörigkeitsfunktionen ist in vielen Anwendungsfällen zu finden (z.B. beim Temperaturempfinden und einem linguistischen Wert "warm").

Gültigkeit von linguistischen Werten als Zugehörigkeitsfunktionen

Das Alter eines Menschen lässt sich mittels dieser Kurve wie folgt als Fuzzy-Funktion darstellen:

Alter eines Menschen
Linguistischer Wert	Zugehörigkeitsfunktion
sehr jung	$s_{0}:\;(1-S(x,30,30))^{2}$
jung	$s_{1}:\;1-S(x,30,30)$
nicht sehr jung	$s_{2}:\;1-(1-S(x,30,30))^{2}$
mehr oder weniger alt	$s_{3}:\;{\sqrt {S(x,60,30)}}$
alt	$s_{4}:\;S(x,60,30)$
sehr alt	$s_{5}:\;S(x,60,30)^{2}$

Modifikatoren für linguistische Werte

Dabei können die umgangssprachliche Modifikatoren sehr, mehr oder weniger sowie nicht sehr durch einfache Modifikation einer gegebenen Funktion dargestellt werden:

Der umgangssprachlich verstärkende Modifikator sehr kann in Form eines erhöhten Exponenten dargestellt werden (im Beispiel $s_{0}=s_{1}^{2}$ ). Das Ergebnis ist ein steilerer Kurvenverlauf im Vergleich zur Ausgangsfunktion.
Der umgangssprachliche Modifikator mehr oder weniger kann durch Verwendung eines niedrigeren Exponenten bzw. der Quadratwurzel auf eine gegebene Funktion ausgedrückt werden( $s_{3}={\sqrt {s_{4}}}$ ). Das Ergebnis ist ein flacherer Kurvenverlauf im Vergleich zur Ausgangsfunktion.
Die Negation eines umgangssprachlichen Ausdrucks lässt durch eine einfache Subtraktion darstellen ( $s_{2}=1-s_{0}$ ).

Anwendungsfälle

Betrachten Sie zunächst die Anwendungsbereiche der Fuzzylogik allgemein und untersuchen Sie die Fuzzyfizierung von Rohdaten an einem Beispiel aus digitalen Lernumgebungen.

Digitale Lernumgebungen

Automatisierte Notengebung und Hilfesysteme^[1]: ein erste Schritt bei einer automatisierten Anpassung von Hilfen zu Aufgaben aus einer Klausur ist die Fuzzyfizierung der erreichten Punkte in einer Aufgabe.
das graduelle Eintreten des linguistischen Wertes "Aufgabe 3 korrekt bearbeitet", wird zunächst durch den relativen Punkteanteil wie folgt beschrieben:

fuzzy3:={\frac {punkte3}{maxpunkte3}}

Beschreiben Sie nun mit Demodateien aus der automatisierte Notengebung und Hilfesystemen die Fuzzyregel

"Wenn die Aufgabe 1 und die Aufgabe 3 nicht korrekt bearbeitet wurden, zeige die Hilfe 7 an".

Ergänzen Sie in den Rohdaten zu automatisierten Notengebung die Spalten fuzzy1 und fuzzy2. Berechnen Sie dann das Fuzzy-UND der beiden Spalten. Zeigen Sie dann in einer Spalte hilfe7 crisp mit 0 bzw, 1 an, ob eine Hilfe nicht angezeigt oder bei einem bestimmten Aufgabenergebnis anzeigt wird. Erläutern Sie Vorgehen bei der Berechnung.

Begriffsabgrenzung

Nicht zu verwechseln mit der Fuzzylogik ist die Fuzzy-Suche, die eine unscharfe Suche in Datenbanken ermöglicht, zum Beispiel, wenn die genaue Schreibweise eines Namens oder Begriffes nicht bekannt ist. Auch wenn die Zugehörigkeits-Werte aus dem Intervall [0,1] formal wie Wahrscheinlichkeitswerte aussehen, so ist Unschärfe etwas grundsätzlich anderes als Wahrscheinlichkeit. Vor allem ist zu beachten, dass die Summe der Werte zweier Funktionen, die sich überschneiden, nicht 1 sein muss. Sie kann gleich 1 sein, aber auch darüber oder darunter liegen.

Literatur

Benno Biewer: Fuzzy-Methoden. Praxisrelevante Rechenmodelle und Fuzzy-Programmiersprachen. Springer, Berlin 1997, ISBN 3-540-61943-7.
Christoph Drösser: Fuzzy logic. Methodische Einführung in krauses Denken. Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 1996, ISBN 3-499-19619-0.
Siegfried Gottwald: Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Foundations of Application – from a Mathematical Point of View. Vieweg und Teknea, Braunschweig/Wiesbaden Toulouse 1993.
Berthold Heinrich [Hrsg.:] Messen, Steuern, Regeln. Elemente der Automatisierungstechnik. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0006-6.
Ulrich Höhle, Stephen Ernest Rodabaugh: Mathematics of Fuzzy Sets: Logic, Topology, and Measure Theory. Springer, 1999, ISBN 0-7923-8388-5.
Michels, Klawonn, Kruse, Nürnberger: Fuzzy-Regelung. Grundlagen, Entwurf, Analyse. Springer-Verlag, ISBN 3-540-43548-4.
George J. Klir, Bo Yuan: Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications. 1995, ISBN 0-13-101171-5.
Thomas Kron: Fuzzy-Logik für die Soziologie. In: Österreichische Zeitschrift für Soziologie, 2005, H. 3, S. 51–89.
Thomas Kron, Lars Winter: Fuzzy Systems – Überlegungen zur Vagheit sozialer Systeme. In: Soziale Systeme, 2005, H. 2, S. 370–394.
Andreas Mayer [u.a.]: Fuzzy Logic. Einführung und Leitfaden zur praktischen Anwendung. Addison-Wesley, Bonn 1993, ISBN 3-89319-443-6.
Daniel McNeill u. Paul Freiberger: Fuzzy Logic. Die unscharfe Logik erobert die Technik. Droemer Knaur, München 1994, ISBN 3-426-26583-4.
Rodabaugh, S.E.; Klement, E.P (Eds.): Topological and Algebraic Structures in Fuzzy Sets: A Handbook of Recent Developments in the Mathematics of Fuzzy Sets. Springer, 2003, ISBN 978-1-4020-1515-1.
Carsten Q. Schneider, Claudius Wagemann: Qualitative Comparative Analysis (QCA) und Fuzzy Sets. Barbara Budrich, 2007, ISBN 978-3-86649-068-0.
Rudolf Seising: Die Fuzzifizierung der Systeme. Die Entstehung der Fuzzy Set Theorie und ihrer ersten Anwendungen – Ihre Entwicklung bis in die 70er Jahre des 20. Jahrhunderts. (Boethius: Texte und Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften, Band 54). Franz Steiner Verlag, Stuttgart 2005, ISBN 3-515-08768-0.
Hans-Jürgen Zimmermann: Fuzzy Set Theory and its Applications. 2001, ISBN 0-7923-7435-5.
Wolfgang Anthony Eiden: Präzise Unschärfe – Informationsmodellierung durch Fuzzy-Mengen. Ibidem, 2002, ISBN 3-89821-230-0.
Magdalena Mißler-Behr: Fuzzybasierte Controllinginstrumente – Entwicklung von unscharfen Ansätzen, Wiesbaden 2001, ISBN 3-82449-0498.

Weblinks

Commons: Fuzzylogik – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Eintrag in Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.
Buch zum Thema (PDF; 1,27 MB)
Fuzzy Logik Image Processing (engl.)
7 Wahrheiten über Fuzzy Logik (engl.)
Englische Einführung in das Thema (Fuzzy Logic Introduction, M. Hellmann, PDF; 260 kB)
Ein Anwendungsbeispiel - Herzog, Christof; Das Methodenpaket IeMAX mit dem Fuzzy-Simulationsmodell FLUCS - Entwicklung und Anwendung eines Entscheidungsunterstützungssystems für die integrative Raumplanung http://e-diss.uni-kiel.de/diss_622/
Einführung in Fuzzy Logic (engl.)
Einführung in Fuzzy Logic
Dissertation about fuzzy logic in profitability analysis (engl.)
Deutsches Buch zum Thema (Präzise Unschärfe, W.A. Eiden, PDF; 1,8 MB)

Software und Tools

Free Educational Software and Application Notes
Infomaterial und Software (DE)
InrecoLAN FuzzyMath, Fuzzy logic add-in for OpenOffice.org Calc
JFuzzyLogic: Open Source Fuzzy Logic Package + FCL (sourceforge, java)
Open Source Software "mbFuzzIT" (Java)

Einzelnachweise

↑ Bert Niehaus (2025) KnitR-Beispieldatei zur Noteberechnung - erstellt 2016 - GitHub URL: https://github.com/niebert/knitr4education/blob/main/de/demo_03_notenberechnung.Rmd - Upload 2025/05/19

Siehe auch

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[1] Bert Niehaus (2025) KnitR-Beispieldatei zur Noteberechnung - erstellt 2016 - GitHub URL: https://github.com/niebert/knitr4education/blob/main/de/demo_03_notenberechnung.Rmd - Upload 2025/05/19

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