Fuzzylogik/Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen

Einleitung

In dieser Lerneiheit werden Dichtefunktionen verwendet, um Zugehörigkeitsfunktionen für Klassen zu generieren. Die Lernressource kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden.

Gliederung

Diese Lernressource zu Fuzzylogik, Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen gliedert sich in folgende Teilaspekte:

(1) aus diskreten Daten stetige Dichtefunktionen zu generieren
(2) aus Dichtenfunktionen eine Fuzzy-Klassifikation mit Zugehörigkeitsfunktion für Klassen zu erzeugen.

Lernvoraussetzungen

Die Lernressource zum Thema Fuzzylogik/Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.

(von Daten zur Dichtefunktion) die Erzeugung von Dichtefunktion stellt in dieser Lerneinheit ein Zwischenschritt für die Erzeugung von Fuzzymengen dar.
(Fuzzy-Klassifikation) notwendig, da aus Dichtefunktionen eine Zerlegung des Grundraumes in Fuzzymenge für Klassen vorgenommen wird.

Aufgaben für Lernende / Studierende

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen werden

aus Daten, differenzierbare Dichtefunktionen erzeugt und
aus Dichtefunktionen Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen.

Erzeugung von Dichtefunktionen aus Daten

Aus der Stochastik ist die Cauchy-Verteilung bekannt. Verwenden Sie in einem normierten Raum $(V,\|\cdot \|)$ die folgende Glockenkurve:

g_{V}(x,x_{o},h,s)={\frac {h}{1+\left({\frac {\|x-x_{o}\|}{s}}\right)^{2}}}\quad {\text{für}}-\infty <x<\infty

Bemerkung zu den Parametern

$x\in V$ ist das Argument, an dem die Glockenkurve $g_{V}:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ ausgewertet wird.
$x_{o}\in V$ ist das Zentrum der Glockenkurve $g_{V}:V\to \mathbb {R} _{o}^{+}$
$h$ legt den Funktionswert im Zentrum $x_{o}$ der Glockenkurve. Je weiter man sich mit $x\in V$ von dem Zentrum $x_{o}$ entfernt, desto betragsmäßig kleiner wird der Funktionswert $|g_{V}(x,x_{o},h,s)|$ .

Eindimensionaler Fall

Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung für verschiedene Werte der beiden Parameter. Dabei gilt: $\gamma$ im Bild entspricht s in der obigen Gleichung.

Wahrscheinlichkeitsdichte

Die Cauchy-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die folgende Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt:

f(x)={\frac {1}{\pi \cdot s}}\cdot {\frac {1}{1+\left({\frac {x-t}{s}}\right)^{2}}}\quad {\text{für}}-\infty <x<\infty

Der Quotient ${\frac {1}{\pi \cdot s}}$ sorgt für die Normierung des Integrals.

Daten Dichtefunktion

Die Daten $\mathbb {D}$ für die mehrdimensionale Dichtefunktion bestehen aus Datenpunkten der Form $(x^{(i)},y^{(i)})\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{+}$ :

\mathbb {D} :=\left\{(x^{(i)},y^{(i)})\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{+}\ \colon \ i\in \{1,\ldots ,d\}\right\}

Die Werte $y^{(i)}\in \mathbb {R} ^{+}$ geben die positive Masse an, die einer Umgebung der Datenpunkte als Eingabenvektoren $x^{(i)}\in \mathbb {R} ^{n}$ zugeordnet wird.

Definition der Dichtefunktion mit Glockenkurven

Nun definiert man Dichtefunktionen in Anlehnung an die Cauchy-Verteilung mit

d_{\mathbb {D} ,s}(x):=\sum _{i=1}^{d}g_{V}(x,x^{(i)},y^{(i)},s)=\sum _{i=1}^{d}{\frac {y^{(i)}}{1+\left({\frac {\left\|x-x^{(i)}\right\|}{s}}\right)^{2}}}\quad {\text{für}}-\infty <x<\infty

Beispiel

Als einführendes Beispiel zum Thema Fuzzylogik, Dichten und Zugehörigkeitsfunktionen dient dabei der Veranschaulichung der Erzeugung von Dichtefunktionen, über die dann Zugehörigkeitsfunktionen generiert werden.

Von Datenpunkten zu Dichten

Die folgende Abbildung zeigt 4 Datenpunkte. Für jeden Datenpunkt $(x_{i},y_{i})\in \mathbb {R} ^{2}$ wird dann eine Cauchy-Dichte $c_{i}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ verwendet, die durch den Punkt $(x_{i},y_{i})$ läuft (also $c_{i}(x_{i})=y_{i}$ ). Der Graph der einzelnen Cauchy-Dichten $c_{i}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ sind grau darstellt. Die gesuchte Dichte (rot) ist die Summe der Cauchydichten,

{\begin{array}{rrcl}{\widetilde {d_{n}}}:&\mathbb {R} &\rightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &{\widetilde {d_{n}}}(x)=\displaystyle \sum _{i=1}^{4}c_{i}(x)\end{array}}

Graph der aggregierten Dichtefunktion

Bemerkung - Interpolation

Auch wenn die einzelnen Cauchy-Dichten $c_{i}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ Dichtefunktion für $n\in \mathbb {N}$ jeweils durch den zugehörigen Datenpunkte laufen, so interpoliert ${\widetilde {d_{n}}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ in der Regel keinen Punkt mehr. Durch das $y_{i}$ aus den Datenpunkten $(x_{i},y_{i})$ wird weiteren Verlauf der Konstruktion die Masse kodiert, die in der Dichte ${\widetilde {d_{n}}}$ durch das Datum $(x_{i},y_{i})$ repräsentiert werden soll.

Streuparameter und Glättung der Dichte

Die folgende Animation zeigt, wie der Streuparemeter $s>0$ auf die Dichte wirkt. Ein großes $s$ glättet die Dichte.

Animation - Streuparameter s

Normalisierung der Masse unter der Dichtefunktion

Die Masse der Dichtefunktion ${\widetilde {d_{n}}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ entspricht in der Regel nicht der Summe der Masseparameter $y_{i}$ für die Datenpunkte $(x_{i},y_{i})$ .

Berechnung des Integrals über die Dichte

Daher berechnet man zunächst das Integral von ${\widetilde {d_{n}}}$ normalisiert dann die Dichtefunktion zu $d_{n}$ :

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\widetilde {d_{n}}}(x)\,dx&=&\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)\,dx=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{+\infty }c_{i}(x)\,dx\\&=&\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}\underbrace {\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{1+\left({\frac {x-t}{s}}\right)^{2}}}\,dx} _{=\pi \cdot s}=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}\cdot \pi \cdot s\\\end{array}}

Stammfunktion

Das uneigentliche Integral kann durch folgende Stammfunktion von $c_{i}$ berechnet werden:

C_{i}(x):=y_{i}\cdot s\cdot \arctan \left({\frac {x-x_{i}}{s}}\right)

Normalisierte Dichte

Mit dem berechneten Integral kann die Masse unter der Kurve auch mit der Verteilungsfunktion der Cauchy-Verteilung berechnet werden. Die Dichtefunktion $d_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ lautet dann:

d_{n}(x):={\frac {1}{\pi \cdot s}}\cdot {\widetilde {d_{n}}}(x)

Damit erhält für das Intergral über die $d_{n}$ die aggregierte Masse der $y_{i}$ :

\int _{-\infty }^{+\infty }d_{n}(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}y_{i}

Bemerkung - Wahrscheinlichkeitsdichte

Möchte man aus der Dichte eine Wahrscheinlichkeitsdichte $p_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ erzeugen, definiert man $p_{n}$ wie folgt: lautet dann:

p_{n}(x):={\frac {1}{\pi \cdot s\cdot \sum _{i=1}^{n}y_{i}}}\cdot {\widetilde {d_{n}}}(x)

Um die Masse durch die $y_{i}$ weiterhin in der Dichte zu kodieren, wird im folgenden weiterhin $d_{n}$ verwendet.

Definitionsbereich nicht IR

In bestimmten Fällen macht es Sinn, dass man die Masse der Dichtefunktion bezogen auf eine messbare Teilmenge $\mathbb {M} \subset \mathbb {R}$ einschränkt, wobei für die $y_{i}$ alle in $\mathbb {M}$ liegen. Die Masseerhaltung in der Dichte wird in diesem Beispiel an einem Intervall veranschaulicht.

Masseerhaltung in der Dichte bei Intervallen

Wählt man als messbare Teilmenge $\mathbb {M} :=[a,b]\subset \mathbb {R}$ , wobei $x_{i}\in [a,b]$ für alle $i\in \{1,\ldots ,n\}$ gilt, so erhält man als Integral:

\int _{a}^{b}{\widetilde {d_{n}}}(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}y_{i}\cdot s\cdot \left(\arctan \left({\frac {b-x_{i}}{s}}\right)-\arctan \left({\frac {a-x_{i}}{s}}\right)\right)

Normalisierung der Masse

Ein Normalisierung der Masse für $\mathbb {M} :=[a,b]$ erfolgt daher mit folgenden Quotienten:

d_{n}(x):={\frac {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}\right)\cdot {\widetilde {d_{n}}}(x)}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}\cdot s\cdot \left(\arctan \left({\frac {b-x_{i}}{s}}\right)-\arctan \left({\frac {a-x_{i}}{s}}\right)\right)}}

Damit erhält man $\int _{a}^{b}d_{n}(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}y_{i}$ .

Wahrscheinlichkeitsdichte auf einem Intervall

Soll aus der Dichtefunktion ${\widetilde {d_{n}}}:[a,b]\to \mathbb {R}$ durch Normalisierung eine Wahrscheinlichkeitsdichte $p_{n}:[a,b]\to \mathbb {R}$ auf $[a,b]$ entstehen, erfolgt die Normalisierung analog mit folgenden Koeffizienten:

p_{n}(x):={\frac {{\widetilde {d_{n}}}(x)}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}\cdot s\cdot \left(\arctan \left({\frac {b-x_{i}}{s}}\right)-\arctan \left({\frac {a-x_{i}}{s}}\right)\right)}}

Von Dichten zu Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen

Mit dem obigen Beispiel wurde bereits eine Dichtefunktion erzeugt, die die Masse der $y_{i}$ entweder auf ganz $\mathbb {R}$ bzw. auf einem Teilintervall $[a,b]$ erhält. Wir nehmen nun an, dass auf diesem Wege zwei masseerhaltende Dichtefunktionen $d^{^{(1)}}$ und $d^{^{(2)}}$ erzeugt wurden.

Positivität und Konvexkombinationen

Da die Cauchy-Dichten für $y_{i}>0$ die Eigenschaft haben, für alle $x\in \mathbb {R}$ positiv zu sein, gilt dies auch für $d^{^{(1)}}$ und $d^{^{(2)}}$ .

Definition der Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen - Beispiel

Die Definition der Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen erfolgt dann dann durch:

f^{^{(1)}}(x):={\frac {d^{^{(1)}}(x)}{d^{^{(1)}}(x)+d^{^{(2)}}(x)}}{\mbox{ bzw. }}f^{^{(2)}}(x):={\frac {d^{^{(2)}}(x)}{d^{^{(1)}}(x)+d^{^{(2)}}(x)}}

Mit der obigen Definition gilt $f^{^{(1)}}(x),f^{^{2)}}(x)\in [0,1]$ für alle $x\in \mathbb {R}$ .

Fazit - Beispiel

Insgesamt wurde an dem Beispiel gezeigt, wie man mit Cauchy-Dichten für Daten $(x_{i},y_{i})\in \mathbb {R} ^{2}$ masseerhaltende Dichten $d_{n}$ erzeugt werden, der Beitrag zur Gesamtmasse der Dichte durch die Datenpunkte $y_{i}$ bestimmt wurde und mit den Dichten $d_{n}$ eine Zerlegung in Fuzzy-Klassen umgesetzt werden kann.

Mehrdimensionale Cauchy-Dichten

Für die Verallgemeinerung werden nun Dichtefunktionen generiert, die auf Basis der Cauchy-Dichte auf $\mathbb {M} \subset \mathbb {R} ^{2}$ definiert werden.

Zweidimensionaler Grundraum für Daten

Die Daten $\mathbb {D}$ für die zweidimensionalen Grundraum für die bestehen aus Datenpunkten der Form $(x^{(i)},y^{(i)})\in \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{+}$ :

\mathbb {D} :=\left\{(x^{(i)},y^{(i)})\in \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{+}\ \colon \ i\in \{1,\ldots ,d\}\right\}

Die Werte $y^{(i)}\in \mathbb {R} ^{+}$ sind positive Wichtungen der Datenpunkte der Eingabenvektoren $x^{(i)}=(x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)})\in \mathbb {R} ^{2}$ .

Definition der Dichtefunktion mit Cauchy-Dichten

Im $\mathbb {R} ^{2}$ ergibt sich für die grundlegenden Cauchy-Dichtefunktionen in Anlehnung an die Cauchy-Verteilung folgende Darstellung:

d_{\mathbb {D} ,s}(x_{1},x_{2})=\sum _{i=1}^{d}{\frac {y^{(i)}}{1+{\frac {\left(x_{1}-x_{1}^{(i)}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{2}^{(i)}\right)^{2}}{s^{2}}}}}

Aggregierte Dichtefunktion 1

Die folgende Dichtefunktion wurde mit 3 Datenpunkte der Form $(x^{(i)},y^{(i)})\in \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R}$ mit $x^{(i)}:=(x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)})\in \mathbb {R} ^{2}$ , Die unterschiedlichen Massen $y^{(i)})\in \mathbb {R}$ an den Stellen $x^{(i)}=(x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)})$ ist an der unterschiedlichen Höhe der Dichtefunktionen ersichtlich

Graph - aggregierte Dichtefunktion 1

Aggregierte Dichtefunktion 2

Die zweite Dichtefunktion wurde mit 4 Datenpunkte der Form $(x^{(i)},y^{(i)})\in \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R}$ , wobei wieder der Umgebung von $x^{(i)}:=(x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)})\in \mathbb {R} ^{2}$ die Masse $y^{(i)})\in \mathbb {R}$ zugeordnet wird. Einige Datenpunkte liegen am Rand des geplotteten Bereiches.

Graph - aggregierte Dichtefunktion 2

Aufgabe - zweidimensionale Dichten

Erzeugen Sie selbst zwei Dichtefunktionen in Maxima CAS oder mit CAS4Wiki und generieren Sie daraus eine Zerlegung des Grundraumes $\Omega :=\mathbb {R} ^{2}$ in zwei Fuzzy-Klassen.

Verallgemeinerung von positiven Dichtefunktionen

Für die Allgemeinerung betrachtet man nun mehrdimensionale Dichten^[1] und schränkt die gegebenen Dichtefunktionen nicht mehr auf die Erzeugung durch Cauchy-Dichten ein. Ausgangspunkt für die Erzeugung von Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen könnten daher auf Funktionen der Form:

{\widehat {d}}(x,y):=cos(x)+sin(y)+2,01

Die Funktion ${\widehat {d}}(x,y)$ ist positiv auf ganz $\mathbb {R} ^{2}$

Graph der Dichtefunktion

Aufgabe - zweidimensionale Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen

Erzeugen Sie analog zum eindimensionalen Beispiel mit 3 zweidimensionalen Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen, wobei 1 bzw. 2 Dichtefunktionen über Cauchy-Dichten erzeugt wurden und eine Dichte mit der obigen trigonometrischen Dichtefunktion erzeugt wurde. Plotten Sie dann die Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen.

Literatur/Quellennachweise

↑ Roth, Z. E., & Baram, Y. (1996). Multidimensional density shaping by sigmoids. IEEE Transactions on Neural Networks, 7(5), 1291-1298.

Siehe auch

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[1] Roth, Z. E., & Baram, Y. (1996). Multidimensional density shaping by sigmoids. IEEE Transactions on Neural Networks, 7(5), 1291-1298.

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