Kurs:Maschinelles Lernen/Fuzzy-Klassifikation

Einleitung

Diese Seite zum Thema Fuzzy-Klassifikation im Kontext von maschinellem Lernen kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

(1) Unterschied zwischen einer scharfen (crisp) und einer unscharfen (fuzzy) Mengenzugehörigkeit
(2) Training von Zugehörigkeitsfunktionen,
(3) Logische Operationen auf Fuzzy-Mengen.

Zielsetzung

Diese Lernressource zu Kurs:Maschinelles Lernen/Fuzzy-Klassifikation in der Wikiversity hat das Ziel, den klassischen Mengenbegriff auf Fuzzymengen zu erweitern und damit eine Fuzzy-Klassifkation zu definieren.

Zielgruppe

Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema Kurs:Maschinelles Lernen und Fuzzy-Klassifikation sind

Studierende im Fach Mathematik und Informatik
Schüler:innen im Fach Mathematik und Informatik

Lernvoraussetzungen

Die Lernressource zum Thema Maschinelles Lernen und Fuzzy-Klassifikation hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind.

(Funktionen) Indikatorfunktionen zur Beschreibung von Mengen
(Logik) Wahrheitstafeln und logische Verknüpfungen

Klassifizierung

Bei eine (crispen) Klassifizierung wird die Grundmenge in disjunkte Klassen zerlegt. In der folgenden Abbildung werden Bücher mit der gleichen ISBN-Nummer in einer Klasse zusammengefasst.

Abbildung - Klasseneinteilung

Disjunkte Zerlegung einer Grundmenge in Klassen

Bei einer disjunkten Zerlegung einer Grundmenge in $\Omega =K_{1}\cup \ldots \cup K_{n}$ mit $K_{i}\cap K_{j}=\emptyset$ für $i\not =j$ ist jedes Element von $\omega \in \Omega$ eine Element genau einer Klasse. Wenn man diese Eigenschaft auf Indikatorfunktionen $I_{K_{i}}:\Omega \to \{0,1\}$ überträgt, ergibt sich folgende Gleichung:

I_{\Omega }(\omega )=1=\sum _{i=1}^{n}I_{K_{i}}(\omega )\quad \forall \omega \in \Omega

Bemerkung - Indikatorfunktion

Wenn ein Element $\omega _{0}\in \Omega$ zu mindestens zwei Klassen $K_{i}$ und $K_{j}$ mit $i\not =j$ gehört, gilt

I_{\Omega }(\omega _{0})=1<2\leq \sum _{i=1}^{n}I_{K_{i}}(\omega _{0})

Falls ein $\omega _{1}\in \Omega$ zu keiner Klasse $K_{i}$ gehört, gilt

I_{\Omega }(\omega _{1})=1>0=\sum _{i=1}^{n}I_{K_{i}}(\omega _{1})

In beiden Fällen ist die Bedingung $I_{\Omega }=1=\sum _{i=1}^{n}I_{K_{i}}$ verletzt.

Zerlegung einer Grundmenge in Klassen

Wenn man die scharfe (crispe) Klassenzerlegung der Grundmenge $\Omega =K_{1}\cup \ldots \cup K_{n}$ mit $K_{i}\cap K_{j}=\emptyset$ für $i\not =j$ auf die Fuzzylogik und Fuzzymengen übertragen möchte arbeitet man mit den Zugehörigkeitsfunktionen $f_{_{K_{i}}}:\Omega \to [0,1]$ . Die disjunkte Zerlegung in Fuzzyklassen entspricht einer Zerlegung der 1 mit den Zugehörigkeitsfunktionen:

f_{\Omega }=1=\sum _{i=1}^{n}f_{_{K_{i}}}

Bemerkung - Zerlegung der 1

Die Zerlegung der 1 angewendet auf Zugehörigkeitsfunktionen bedeutet, dass man für Element $\omega \in \Omega$ zerlegt, welcher

Aufgaben - Integral und Indikatorfunktion

Mit den folgenden Aufgaben wird die Integration und Maßtheorie mit Indikatorfunktionen für messbare Menge verbunden. Dabei ist eine Menge $A$ messbare, die die Indikatorfunktion $I_{A}$ ein $({\mathfrak {S}},{\mathcal {B}}_{|[0,1]})$ -[[messbare Funktion ist:

Erläutern Sie, wie man mit Indikatorfunktionen $I_{A}:\Omega \to \{0,1\}$ die Zugehörigkeit zu einer Menge beschreiben kann!
Wie kann man das Integral über eine Indikatorfunktion interpretieren, wenn $I_{A}$ eine integrable Funktionen auf einem Messraum^[1] $(\Omega ,{\mathfrak {S}})$ ist?

\int _{\Omega }I_{A}(x)\,dx

Aufgaben - Integral und Zugehörigkeitsfunktion

Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Maschinelles Lernen und Fuzzy-Klassifikation werden:

Erläutern Sie, wie man mit Zugehörigkeitsfunktionen $f_{_{A}}:\Omega \to [0,1]$ die Zugehörigkeit zu einer Menge beschreiben kann!
Wie kann man das Integral über eine Zugehörigkeitsfunktion in Analogie zum Integral über eine Indikatorfunktion interpretieren, wenn $f_{_{A}}$ eine integrable Funktionen auf einem Messraum^[1] $(\Omega ,{\mathfrak {S}})$ ist?

\int _{\Omega }f_{_{A}}(x)\,dx

Wie kann man durch Cauchy-Verteilungen Dichtefunktionen auf $\Omega =\mathbb {R}$ erzeugen?
Erläutern Sie, wie man aus Dichtefunktionen $d_{i}:\Omega \to \mathbb {R} _{o}^{+}$ Zugehörigkeitsfunktionen $f_{i}:\Omega \to [0,1]$ mit eine Fuzzy-Klassifikation erzeugen kann!

Beispiel

Als einführendes Beispiel zum Thema Maschinelles Lernen und Fuzzy-Klassifikation dient dabei die Zugehörigkeitsfunktion des linguistischen Wertes "angenehm warm", die jeder Temperatur $x\in \Omega$ aus dem Temperaturbereich $\Omega :=[-50,+50]$ die graduelle Gültigkeit $\mu _{warm}(x)\in [0,1]$ zuordnet.