Ganze Zahlen/p-Exponent/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Zu einer ganzen Zahl und einer Primzahl nennt man den Exponenten, mit dem in der Primfaktorzerlegung von vorkommt, den -Exponenten von . Er wird mit bezeichnet.

Statt Exponent spricht man auch von der Vielfachheit oder der Ordnung von in . Wenn in der Primfaktorzerlegung nicht vorkommt, so ist

Die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl kann man damit abstrakt und kompakt als

schreiben. Da in jeder Primfaktorzerlegung nur endlich viele Primzahlen wirklich vorkommen, ist dies ein endliches Produkt.

Zu ist die Primfaktorzerlegung gleich

und somit gilt

und

für alle weiteren Primzahlen .



Lemma

Es sei eine Primzahl und

der zugehörige -Exponent. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Zahl ist die größte Potenz von , die teilt.
  2. Es ist
  3. Es ist

    (es sei vorausgesetzt).

Beweis

Siehe Aufgabe.



Korollar  

Es seien und positive natürliche Zahlen. Dann wird von genau dann geteilt,

wenn für jede Primzahl die Beziehung

gilt.

Beweis  

. Aus der Beziehung folgt in Verbindung mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung, dass die Primfaktoren von mit mindestens ihrer Vielfachheit auch in vorkommen müssen.
. Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist eine natürliche Zahl mit .

Aus diesem Kriterium ergibt sich, dass man zu einer gegebenen Zahl, deren Primfaktorzerlegung vorliegt, einfach alle Teiler angeben kann. Bei

sind die (positiven) Teiler genau die Zahlen

Davon gibt es Stück.



Korollar  

Es seien und positive natürliche Zahlen mit den Primfaktorzerlegungen und .

Dann ist

und

Beweis  

Dies folgt direkt aus Fakt.


Für die beiden Zahlen und ist beispielsweise der größte gemeinsame Teiler gleich und das kleinste gemeinsame Vielfache gleich .