Gebiet/Holomorphe Funktionen/Folge/Konvergenz und Ableitungen/Fakt/Beweis

Beweis

Da die Aussagen lokal sind, können wir nach Fakt und nach einer Verschiebung direkt davon ausgehen, dass die Folge auf ${}U{\left(0,s\right)}$ gleichmäßig gegen ${}f$ konvergiert. Es sei ${}0<r<s$ und sei ${}\gamma$ die Standardumrundung von ${}0$ mit Radius ${}r$. Nach Fakt und Fakt ist für ${}P\in U{\left(0,r\right)}$

${}f_{k}^{(n)}(P)={\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f_{k}(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz\,.$

Es sei ${}C_{k}$ das Maximum von ${}\vert {f-f_{k}}\vert$. Dann gilt unter Verwendung von Fakt

${}{\begin{aligned}\vert {\int _{\gamma }{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz-f_{k}^{(n)}(P)}\vert &=\vert {{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz-{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f_{k}(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz}\vert \\&={\frac {n!}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)-f_{k}(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz}\vert \\&\leq n!{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {P}\vert )^{n+1}}}.\end{aligned}}$

Es sei ${}n$ fixiert, wir behaupten, dass ${}f_{k}^{(n)}(P)$ auf ${}U{\left(0,r\right)}$ lokal gleichmäßig gegen ${}{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz$ konvergiert. Sei ${}P\in U{\left(0,r\right)}$ fixiert und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wir zeigen die gleichmäßige Konvergenz auf ${}U{\left(P,t\right)}$ mit ${}t={\frac {r-\vert {P}\vert }{2}}$. Für ${}Q\in U{\left(P,t\right)}$ ist insbesondere

${}{\frac {r-\vert {P}\vert }{r-\vert {Q}\vert }}\leq 2\,.$

Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz der ${}f_{k}$ gegen ${}f$ gibt es ein ${}k_{0}$ derart, dass für alle ${}k\geq k_{0}$ die Abschätzung ${}C_{k}\leq {\frac {\epsilon (r-\vert {P}\vert )^{n+1}}{2^{n+1}r\cdot (n!)}}$ gilt. Daher ist

${}{\begin{aligned}\vert {\int _{\gamma }{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(z)}{(z-Q)^{n+1}}}dz-f_{k}^{(n)}(Q)}\vert &\leq n!{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {Q}\vert )^{n+1}}}\\&=n!{\left({\frac {r-\vert {P}\vert }{r-\vert {Q}\vert }}\right)}^{n+1}{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {P}\vert )^{n+1}}}\\&\leq n!2^{n+1}{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {P}\vert )^{n+1}}}\\&\leq \epsilon .\end{aligned}}$

Insbesondere ist

${}f(P)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)}}dz\,$

und daher gilt für den Differenzenquotienten

${}{\begin{aligned}{\frac {f(P)-f(Q)}{P-Q}}&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(P-Q)}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)}}-{\frac {f(z)}{(z-Q)}}dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(P-Q)}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)(z-Q)-f(z)(z-P)}{(z-P)(z-Q)}}dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(P-Q)}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)(P-Q)}{(z-P)(z-Q)}}dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)(z-Q)}}dz.\end{aligned}}$

Für ${}Q\rightarrow P$ konvergiert auf dem Kreisrand ${}{\frac {f(z)}{(z-P)(z-Q)}}$ gleichmäßig gegen ${}{\frac {f(z)}{(z-P)(z-P)}}$ und daher existiert der Limes des Integrals nach Fakt und somit ist ${}f$ komplex differenzierbar. Somit ist die oben bestimmte Grenzfunktion von ${}f_{k}^{(n)}$ nach Fakt gleich der ${}n$-ten Ableitung von ${}f$.

Zur bewiesenen Aussage