Geordnete Dreiecke/Kongruenzen/Invariantenring/Fakt/Beweis

Beweis

Wie in Beispiel erwähnt, gibt es eine kurze exakte Sequenz

$1\longrightarrow \operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \{1,-1\}\longrightarrow 1.$

Wir können daher aufgrund von Fakt den Invariantenring

$\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]^{\operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$

aus dem Invariantenring zu

$\mathbb {R} [U_{1},V_{1},U_{2},V_{2}]^{\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}}$

ausrechnen, der in Fakt zu

$B=\mathbb {R} [U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2},U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}]$

bestimmt wurde. Das nichttriviale Element der Restklassengruppe ${}\{1,-1\}$ wirkt auf ${}B$ durch einen beliebigen Repräsentanten, beispielsweise durch die Spiegelung ${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$. Der zugehörige Ringautomorphismus lässt ${}U_{1},U_{2}$ unverändert und schickt ${}V_{1},V_{2}$ auf ihr Negatives. Unter dieser Abbildung sind die drei vorderen Erzeuger invariant und der hintere Erzeuger wird auf sein Negatives abgebildet. Da das Quadrat des vierten Erzeugers zu ${}A=\mathbb {R} [U_{1}^{2}+V_{1}^{2},U_{2}^{2}+V_{2}^{2},U_{1}U_{2}+V_{1}V_{2}]$ gehört, liegt eine Operation auf einem Ring der Form ${}A[X]/(X^{2}-a)$ durch ${}X\leftrightarrow -X$ vor. In einem solchen Fall ist ${}A$ der Invariantenring.

Zur bewiesenen Aussage