Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da $h$ stetig ist und keine Nullstelle besitzt, ist $h$ bzw. $\frac{1}{h}$ nach dem Zwischenwertsatz entweder stets positiv oder stets negativ, sodass $H$ nach Fakt streng monoton und daher nach Aufgabe injektiv (also bijektiv auf sein Bild) ist.

Sei  $y(t)=H^{-1}(G(t))$  wie angegeben. Dann ist

$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }(t)& =\frac{G^{\prime }(t)}{H^{\prime }(H^{-1}(G(t)))}\\ & =\frac{g(t)}{\frac{1}{h}(H^{-1}(G(t)))}\\ & =g(t)\cdot h(H^{-1}(G(t)))\\ & =g(t)\cdot h(y(t)),\end{array}$

sodass in der Tat eine Lösung vorliegt.

Es sei nun $y(t)$ eine differenzierbare Funktion, die die Differentialgleichung erfüllt. Daraus folgt

${\int }_{t_1}^{t_2}g(t)dt={\int }_{t_1}^{t_2}\frac{y^{\prime }(t)}{h(y(t))}dt={\int }_{y(t_1)}^{y(t_2)}\frac{1}{h(z)}dz,$

wobei wir die Substitution  $z=y(t)$  angewendet haben. Für die zugehörigen Stammfunktionen (mit den unteren Integralgrenzen $t_1$ bzw. $y(t_1)$) bedeutet dies  $G(t)=H(y(t))$,  also ist

 $y(t)=H^{-1}(G(t))$. 

Zur gelösten Aufgabe