Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt/Beweis

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Beweis

Da stetig ist und keine Nullstelle besitzt, ist bzw. nach dem Zwischenwertsatz entweder stets positiv oder stets negativ, so dass nach Fakt streng monoton und daher nach Aufgabe injektiv (also bijektiv auf sein Bild) ist.
Sei wie angegeben. Dann ist

so dass in der Tat eine Lösung vorliegt.
Es sei nun eine differenzierbare Funktion, die die Differentialgleichung erfüllt. Daraus folgt

wobei wir die Substitution angewendet haben. Für die zugehörigen Stammfunktionen (mit den unteren Integralgrenzen bzw. ) bedeutet dies , also ist .
Um die Anfangsbedingung zu erfüllen, kann man bzw. als untere Integralgrenzen wählen. Wir zeigen, dass dies die einzige Lösung ist. Seien also und zwei Stammfunktionen zu und und zwei Stammfunktionen zu derart, dass sowohl als auch die Anfangsbedingung erfüllen. D.h. die beiden Funktionen stimmen zum Zeitpunkt überein. Da sich Stammfunktionen nur um eine Konstante unterscheiden, können wir und mit zwei Konstanten ansetzen. Es gilt also einerseits und andererseits , so dass gilt, woraus wegen sofort folgt. Also ist und somit wegen der Injektivität von auch für alle .

Zur bewiesenen Aussage