Glatte Ebene Kurve/Syzygienbündel/Gradberechnung/Aufgabe

Es sei ${}f\in K[X,Y,Z]$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}e$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ derart, dass

${}C=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y,Z]/(f)\right)}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

eine glatte projektive Kurve ist. Es seien

${}g_{1},\ldots ,g_{n}\in K[X,Y,Z]\,$

homogene Elemente vom Grad ${}d_{1},\ldots ,d_{n}$ derart, dass die ${}D_{+}(g_{i})$ die Kurve überdecken. Wir fassen die ${}g_{i}$ als Garbenhomomorphismen ${}{\mathcal {O}}_{C}(-d_{i})\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}$, ${}h\longmapsto hg_{i}$, (bzw. ${}{\mathcal {O}}_{C}(m-d_{i})\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}(m)$, ${}h\longmapsto hg_{i}$, für ${}m\in \mathbb {Z}$) auf.

1. Zeige, dass der Garbenhomomorphismus

   $\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}_{C}(m-d_{i})\longrightarrow {\mathcal {O}}_{C}(m)$

   surjektiv ist.

2. Es sei ${}\operatorname {Syz} {\left(g_{1},\ldots ,g_{n}\right)}(m)$ die Kerngarbe zum Homomorphismus aus (1). Zeige, dass diese Garbe lokal frei ist.
3. Bestimme den Rang von ${}\operatorname {Syz} {\left(g_{1},\ldots ,g_{n}\right)}(m)$.
4. Bestimme den Grad von ${}\operatorname {Syz} {\left(g_{1},\ldots ,g_{n}\right)}(m)$.

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