Glatte Ebene Kurve/Syzygienbündel/Gradberechnung/Aufgabe

Es sei  $f\in K[X,Y,Z]$  ein homogenes Polynom vom Grad $e$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ derart, dass

$C=\mathrm{Proj}(K[X,Y,Z]/(f))\subseteq {\mathbb{P}}_K^2$

eine glatte projektive Kurve ist. Es seien

$g_1,\dots ,g_n\in K[X,Y,Z]$

homogene Elemente vom Grad $d_1,\dots ,d_n$ derart, dass die $D_{+}(g_i)$ die Kurve überdecken. Wir fassen die $g_i$ als Garbenhomomorphismen ${𝒪}_C(-d_i)⟶{𝒪}_C$, $h⟼h{g}_i$, (bzw. ${𝒪}_C(m-d_i)⟶{𝒪}_C(m)$, $h⟼h{g}_i$, für $m\in \mathbb{Z}$) auf.

1. Zeige, dass der Garbenhomomorphismus

   $\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}{𝒪}_C(m-d_i)⟶{𝒪}_C(m)$

   surjektiv ist.

2. Es sei $\mathrm{Syz}(g_1,\dots ,g_n)(m)$ die Kerngarbe zum Homomorphismus aus (1). Zeige, dass diese Garbe lokal frei ist.
3. Bestimme den Rang von $\mathrm{Syz}(g_1,\dots ,g_n)(m)$.
4. Bestimme den Grad von $\mathrm{Syz}(g_1,\dots ,g_n)(m)$.

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