Glatte projektive Kurve/Endlicher Körper/Reine Potenz/Bemerkung

Es sei eine ebene glatte projektive Kurve

${}C=V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {Z} /(p)}^{2}\,$

durch eine Gleichung der Form

${}X^{d}=P(Y,Z)\,$

gegeben, wobei ${}P(Y,Z)$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}d$ sei. Es sei ${}q=p^{n}$ eine Potenz der Charakteristik ${}p$. Wenn der Grad ${}d$ teilerfremd zu ${}q-1$ ist, so lässt sich die Anzahl ${}{\#\left(C({\mathbb {F} }_{q})\right)}$ der Punkte der Kurve, die über ${}{\mathbb {F} }_{q}$ definiert sind, einfach bestimmen. Sei ${}(x,y,z)\in C$ ein solcher Punkt. Bei ${}z\neq 0$ können wir ${}z$ zu ${}1$ normieren. Für ${}y$ können wir jedes Element aus ${}{\mathbb {F} }_{q}$ einsetzen. Aufgrund der vorausgesetzten Teilerfremdheit ist die Abbildung

${\mathbb {F} }_{q}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q},\,x\longmapsto x^{d},$

bijektiv, da diese Abbildung auf ${}{\mathbb {F} }_{q}^{\times }$ der additiven Abbildung

$\mathbb {Z} /(q-1)\longrightarrow \mathbb {Z} /(q-1),\,v\longmapsto dv,$

entspricht (vergleiche Fakt). Somit gehört zu ${}y$ genau ein Punkt der Kurve. Bei ${}z=0$ ist ${}y\neq 0$ und man kann ${}y$ zu ${}1$ normieren und erhält einen weiteren Punkt der Kurve. Unter dieser Bedingung ist also

${}{\#\left(C({\mathbb {F} }_{q})\right)}=q+1\,.$

Wenn aber ${}q-1$ nicht teilerfremd zu ${}d$ ist, wird die Bestimmung ungleich schwieriger, da man dann im Detail untersuchen muss, welche Zahlen ${}P(y,1)$ wie viele ${}d$-te Wurzeln in ${}{\mathbb {F} }_{q}$ besitzen. Da im glatten Fall ${}p$ und ${}d$ teilerfremd sind, ist ${}p$ eine Einheit modulo ${}d$ und somit gibt es Exponenten ${}e$ mit ${}p^{e}=1\mod d$. Das heißt, dass ${}p^{e}-1$ und ${}d$ für gewisse Exponenten nicht teilerfremd sind, und daher (außer bei ${}d=1$) der schwierige Fall definitiv eintritt.