Glatte projektive Kurve/Hauptdivisor/Grad 0/Fakt/Beweis

Beweis

Für ${}q\neq 0$ konstant ist die Aussage klar. Es sei also ${}q$ nicht konstant. Wir betrachten den im Sinne von Fakt zugehörigen endlichen Morphismus

$q\colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

vom Grad ${}n$. Nach Fakt ist

${}\operatorname {div} {\left(q\right)}=q^{*}((0)-(\infty ))=q^{*}(0)-q^{*}(\infty )\,.$

Nach Fakt besitzen die beiden schematheoretischen Fasern beide die ${}K$-Dimension ${}n$ und diese ist die Gesamtmultiplizität der Faser.

Zur bewiesenen Aussage