Graph einer Funktion/Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Volumenform/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung

$\phi =\mathrm{id}\times \psi :W⟶W\times ℝ,x⟼(x,\psi (x)),$

ist ein Diffeomorphismus zwischen $W$ und dem Graphen $M$. Der Graph ist eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von $W\times ℝ$ und trägt daher die induzierte riemannsche Struktur und (da sich die Orientierung von $W$ auf $M$ überträgt) eine kanonische Volumenform $\omega$. Auf diese Situation kann man Fakt anwenden. Die partiellen Ableitungen von $\phi$ nach der $i$-ten Variablen sind

$\frac{\partial \phi }{\partial x_i}=\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ \frac{\partial \psi }{\partial x_i}\end{array}\right).$

Es sei  $Q\in W$  ein Punkt, den wir in die Funktionen im Folgenden einsetzen, sodass wir überall mit reellen Zahlen rechnen. Die Skalarprodukte, die die Einträge $b_{ij}$ der Matrix $B$ bilden (von deren Determinante wir die Wurzel berechnen müssen), sind gleich

$b_{ij}=⟨\frac{\partial \phi }{\partial x_i}(Q),\frac{\partial \phi }{\partial x_j}(Q)⟩$

Wir schreiben  $B=E_n+A$  mit  $A={\left(a_{ij}\right)}_{1\le i,j\le n}$.  Mit  $c_i=\frac{\partial \psi }{\partial x_i}(Q)$  können wir  $a_{ij}=c_i{c}_j$  und insgesamt die Matrix $A$ als

$A=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right)(c_1,\dots ,c_n)$

schreiben. Daher beschreibt $A$ eine lineare Abbildung von ${ℝ}^n$ nach ${ℝ}^n$, die durch $ℝ$ faktorisiert, und besitzt damit einen Kern, der zumindest $(n-1)$-dimensional ist. Nennen wir ihn $K$. Wenn er die Dimension $n$ besitzt, so ist  $A=0$  und $B$ ist die Identität, und die Aussage ist richtig. Es sei also  $A\ne 0$.  Dann ist  $v=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right)$  ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert  $c_1^2+\cdots +c_n^2\ne 0$.  Dieser Vektor ist ein Eigenvektor von $B$ zum Eigenwert $1+c_1^2+\cdots +c_n^2$ und $K$ bildet den $(n-1)$-dimensionalen Eigenraum für $B$ zum Eigenwert $1$. Insgesamt ist $B$ diagonalisierbar und ihre Determinante ist das Produkt der Eigenwerte, also gleich $1+c_1^2+\cdots +c_n^2$.

Zur bewiesenen Aussage