Graph einer Funktion/Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Volumenform/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Abbildung

ist ein Diffeomorphismus zwischen und dem Graphen . Der Graph ist eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von und trägt daher die induzierte riemannsche Struktur und (da sich die Orientierung von auf überträgt) eine kanonische Volumenform . Auf diese Situation kann man Fakt anwenden. Die partiellen Ableitungen von nach der -ten Variablen sind

Sei ein Punkt, den wir in die Funktionen im Folgenden einsetzen, so dass wir überall mit reellen Zahlen rechnen. Die Skalarprodukte, die die Einträge der Matrix bilden (von deren Determinante wir die Wurzel berechnen müssen), sind gleich

Es ist also mit . Mit können wir und insgesamt die Matrix als

schreiben. Daher beschreibt eine lineare Abbildung von nach , die durch faktorisiert, und besitzt damit einen Kern, der zumindest -dimensional ist. Nennen wir ihn . Wenn er die Dimension besitzt, so ist und ist die Identität, und die Aussage ist richtig. Sei also . Dann ist ein Eigenvektor von zum Eigenwert . Dieser Vektor ist ein Eigenvektor von zum Eigenwert und bildet den -dimensionalen Eigenraum für zum Eigenwert . Insgesamt ist diagonalisierbar und ihre Determinante ist das Produkt der Eigenwerte, also gleich .