Graph einer Funktion/Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Volumenform/Fakt/Beweis

Beweis

Die Abbildung

$\varphi =\operatorname {id} \times \psi \colon W\longrightarrow W\times \mathbb {R} ,\,x\longmapsto (x,\psi (x)),$

ist ein Diffeomorphismus zwischen ${}W$ und dem Graphen ${}M$. Der Graph ist eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}W\times \mathbb {R}$ und trägt daher die induzierte riemannsche Struktur und (da sich die Orientierung von ${}W$ auf ${}M$ überträgt) eine kanonische Volumenform ${}\omega$. Auf diese Situation kann man Fakt anwenden. Die partiellen Ableitungen von ${}\varphi$ nach der ${}i$-ten Variablen sind

${}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\1\\0\\\vdots \\0\\{\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}}\,.$

Es sei ${}Q\in W$ ein Punkt, den wir in die Funktionen im Folgenden einsetzen, so dass wir überall mit reellen Zahlen rechnen. Die Skalarprodukte, die die Einträge ${}b_{ij}$ der Matrix ${}B$ bilden (von deren Determinante wir die Wurzel berechnen müssen), sind gleich

${}b_{ij}=\left\langle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}(Q),{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{j}}}(Q)\right\rangle \,$

Wir schreiben ${}B=E_{n}+A$ mit ${}A={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$. Mit ${}c_{i}={\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}(Q)$ können wir ${}a_{ij}=c_{i}c_{j}$ und insgesamt die Matrix ${}A$ als

${}A={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\left(c_{1},\,\ldots ,\,c_{n}\right)\,$

schreiben. Daher beschreibt ${}A$ eine lineare Abbildung von ${}\mathbb {R} ^{n}$ nach ${}\mathbb {R} ^{n}$, die durch ${}\mathbb {R}$ faktorisiert, und besitzt damit einen Kern, der zumindest ${}(n-1)$-dimensional ist. Nennen wir ihn ${}K$. Wenn er die Dimension ${}n$ besitzt, so ist ${}A=0$ und ${}B$ ist die Identität, und die Aussage ist richtig. Es sei also ${}A\neq 0$. Dann ist ${}v={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor von ${}A$ zum Eigenwert ${}c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}\neq 0$. Dieser Vektor ist ein Eigenvektor von ${}B$ zum Eigenwert ${}1+c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}$ und ${}K$ bildet den ${}(n-1)$-dimensionalen Eigenraum für ${}B$ zum Eigenwert ${}1$. Insgesamt ist ${}B$ diagonalisierbar und ihre Determinante ist das Produkt der Eigenwerte, also gleich ${}1+c_{1}^{2}+\cdots +c_{n}^{2}$.

Zur bewiesenen Aussage