Beweis
Die Abbildung
-
ist ein
Diffeomorphismus
zwischen
und dem Graphen
. Der Graph ist eine
abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
von
und trägt daher die
induzierte riemannsche Struktur
und
(da sich die Orientierung von
auf
überträgt)
eine
kanonische Volumenform
. Auf diese Situation kann man
Fakt
anwenden. Die
partiellen Ableitungen
von
nach der
-ten Variablen sind
-

Es sei
ein Punkt, den wir in die Funktionen im Folgenden einsetzen, sodass wir überall mit reellen Zahlen rechnen. Die Skalarprodukte, die die Einträge
der Matrix
bilden
(von deren Determinante wir die Wurzel berechnen müssen),
sind gleich
-

Wir schreiben
mit
.
Mit
können wir
und insgesamt die Matrix
als
-

schreiben. Daher beschreibt
eine lineare Abbildung von
nach
, die durch
faktorisiert,
und besitzt damit einen
Kern,
der zumindest
-dimensional ist. Nennen wir ihn
. Wenn er die Dimension
besitzt, so ist
und
ist die Identität, und die Aussage ist richtig. Es sei also
.
Dann ist
ein
Eigenvektor
von
zum
Eigenwert
.
Dieser Vektor ist ein Eigenvektor von
zum Eigenwert
und
bildet den
-dimensionalen
Eigenraum
für
zum Eigenwert
. Insgesamt ist
diagonalisierbar
und ihre
Determinante
ist das Produkt der Eigenwerte, also gleich
.