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Gruppentheorie/Kommutativ/Endlich erzeugt/Hauptsatz/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei ein Erzeugendensystem von . Dann ist die Abbildung

ein surjektiver Homomorphismus. Aufgrund von Fakt ist G daher isomorph zu .


enthält nach Definition des Kerns genau alle Darstellungen des neutralen Elements von in . Damit wir , bzw. genauer beschreiben können schauen wir uns daher den Kern genauer an.

ist eine Untergruppe von und kann daher aufgrund von Fakt durch erzeugt werden, wobei . Dieses Erzeugendensystem können wir als die Spalten einer -Matrix

schreiben. Es gilt dann

Der Fakt erlaubt es, zu schreiben, wobei und Hintereinanderschaltungen von über invertierbaren Matrizen sind. Als invertierbare Matrizen bilden und die Gruppe auf ab und ändern dabei nur die Rollen der Koeffizienten (im Allgemeinen mehr als Vertauschen!). Daher ist die Restklassengruppe der durch die Spalten von erzeugten Untergruppe isomorph zu der Restklassengruppe der durch die Spalten von erzeugten Untergruppe :

Die Matrix hat aber nach Fakt die Form . Die Gruppe hat daher die Form .

Daraus folgt schließlich: