Es sei
ein
Erzeugendensystem
von
. Dann ist die Abbildung
-
ein
surjektiver
Homomorphismus.
Aufgrund von
Fakt
ist G daher
isomorph
zu
.
enthält nach Definition des
Kerns
genau alle Darstellungen des
neutralen Elements
von
in
. Damit wir
, bzw.
genauer beschreiben können schauen wir uns daher den Kern genauer an.
ist eine
Untergruppe
von
und kann daher aufgrund von
Fakt
durch
erzeugt werden, wobei
. Dieses Erzeugendensystem können wir als die Spalten einer
-Matrix
![{\displaystyle {}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721df7cbe87df695d471a9ee60ad739e3614e51c)
schreiben. Es gilt dann
-
Der
Fakt
erlaubt es,
zu schreiben, wobei
und
Hintereinanderschaltungen von über
invertierbaren Matrizen sind. Als invertierbare Matrizen bilden
und
die Gruppe
auf
ab und ändern dabei nur die Rollen der Koeffizienten (im Allgemeinen mehr als Vertauschen!). Daher ist die Restklassengruppe der durch die Spalten von
erzeugten Untergruppe isomorph zu der Restklassengruppe der durch die Spalten von
erzeugten Untergruppe
:
-
Die Matrix
hat aber nach Fakt
die Form
. Die Gruppe
hat daher die Form
.
Daraus folgt schließlich:
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}G&\cong \mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {kern} \varphi \\&=\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {bild} M\\&\cong \mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {bild} D\\&=\mathbb {Z} ^{m}/((n_{1})\times \cdots \times (n_{s})\times 0\times \cdots \times 0)\\&=\mathbb {Z} /(n_{1})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{s})\times \mathbb {Z} ^{r}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f823a5153077e8128a116a2be20eeab10229d755)