Gruppentheorie/Links und Rechtsnebenklassen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und  $H\subseteq G$  eine Untergruppe. Wir setzen  $x{\sim }_{H}y$  (und sagen, dass $x$ und $y$ äquivalent sind), wenn  $x^{-1}y\in H$. 

Dies ist in der Tat eine Äquivalenzrelation: Aus  $x^{-1}x=e_G\in H$  folgt, dass diese Relation reflexiv ist. Aus  $x^{-1}y\in H$  folgt sofort  $y^{-1}x={\left(x^{-1}y\right)}^{-1}\in H$  und aus  $x^{-1}y\in H$  und  $y^{-1}z\in H$  folgt  $x^{-1}z=\left(x^{-1}y\right)\left(y^{-1}z\right)\in H$. 

Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und  $H\subseteq G$  eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem  $x\in G$  die Teilmenge

$xH=\{xh\mid h\in H\}$

die Linksnebenklasse von $x$ in $G$ bezüglich $H$. Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form

$Hx=\{hx\mid h\in H\}$

Rechtsnebenklasse (zu $x$).

Die Äquivalenzklassen zu der oben definierten Äquivalenzrelation sind wegen

$\begin{array}{cc}[x]& =\{y\in G\mid x\sim y\}\\ & =\{y\in G\mid x^{-1}y\in H\}\\ & =\{y\in G\mid \text{es gibt }h\in H\text{ mit }{x}^{-1}y=h\}\\ & =\{y\in G\mid \text{es gibt }h\in H\text{ mit }y=xh\}\\ & =xH\end{array}$

genau die Linksnebenklassen. Die Linksnebenklassen bilden somit eine disjunkte Zerlegung (eine Partition) von $G$. Dies gilt ebenso für die Rechtsnebenklassen. Im kommutativen Fall muss man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen unterscheiden.

Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe und  $H\subseteq G$  eine Untergruppe. Es seien  $x,y\in G$  Elemente.

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1.  $x\in yH$. 
2.  $y\in xH$. 
3.  $y^{-1}x\in H$. 
4.  $x^{-1}y\in H$. 
5.  $xH\cap yH\ne \mathrm{\varnothing }$. 
6.  $x{\sim }_{H}y$. 
7.  $xH=yH$. 

Beweis

Die Äquivalenz von $(1)$ und $(3)$ (und die von $(2)$ und $(4)$) folgt aus Multiplikation mit $y^{-1}$ bzw. mit $y$. Die Äquivalenz von $(3)$ und $(4)$ folgt durch Übergang zum Inversen. Aus $(1)$ folgt $(5)$ wegen  $1\in H$.  Wenn $(5)$ erfüllt ist, so bedeutet das  $x{h}_1=y{h}_2$  mit gewissen  $h_1,h_2\in H$.  Damit ist  $x=y{h}_2{h}_1^{-1}$  und $(1)$ ist erfüllt. (4) und (6) sind nach Definition äquivalent. Da die Linksnebenklassen die Äquivalenzklassen sind, ergibt sich die Äquivalenz von (5) und (7).

$◻$