Höhere Richtungsableitung/R/Einführung/Textabschnitt

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}\mathbb {R}$-Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Für eine Abbildung ${}f\colon G\rightarrow W$ und einen fixierten Vektor ${}v\in V$ ist die Richtungsableitung in Richtung ${}v$ (falls diese existiert) selbst eine Abbildung

$D_{v}f\colon G\longrightarrow W,\,P\longmapsto {\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}.$

Als solche ist es sinnvoll zu fragen, ob ${}D_{v}f$ in Richtung ${}u\in V$ differenzierbar ist. Wir sprechen dann von höheren Ableitungen. Dies wird präzisiert durch die folgende induktive Definition.

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$-Vektorräume,

$f\colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung auf einer offenen Menge ${}G\subseteq V$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ Vektoren in ${}V$. Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von ${}f$ in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung ${}v_{n}$ existiert. Sie wird mit

$D_{v_{n}}(...(D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f))\ldots )$

bezeichnet.

Beispiel

Wir bestimmen die Richtungsableitung zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-xy-y^{3},$

in Richtung ${}v=\left(4,\,-1\right)$. Zu einem Punkt ${}P=(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ müssen wir die Funktion

$p\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(P+tv),$

nach ${}t$ im Nullpunkt ableiten. Es ist

${}{\begin{aligned}p(t)&=f(P+tv)\\&=(x+4t)^{2}-(x+4t)(y-t)-(y-t)^{3}\\&=x^{2}+8xt+16t^{2}-xy-4ty+xt+4t^{2}-y^{3}+3y^{2}t-3yt^{2}+t^{3}\\&=x^{2}-xy-y^{3}+9xt-4ty+3y^{2}t+20t^{2}-3yt^{2}+t^{3}.\end{aligned}}$

Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist

${}p'(0)=9x-4y+3y^{2}\,,$

also ist

${}g(x,y):=(D_{v}f)(x,y)=9x-4y+3y^{2}\,.$

Für diese Funktion können wir nun die Richtungsableitung in Richtung ${}u=\left(2,\,-3\right)$ ausrechnen. Es ist

${}{\begin{aligned}q(t)&:=g(P+tu)\\&=9(x+2t)-4(y-3t)+3(y-3t)^{2}\\&=9x-4y+3y^{2}+18t+12t-18yt+27t^{2}.\end{aligned}}$

Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist

${}q'(0)=30-18y\,,$

also ist

${}(D_{u}g)(x,y)=(D_{u}(D_{v}f))(x,y)=30-18y\,.$

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$-Vektorräume und

$f\colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung auf einer offenen Menge ${}G\subseteq V$. Man sagt, dass ${}f$ ${}n$-mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}n$ Vektoren aus ${}V$ die höhere Richtungsableitung

$D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f)\ldots )$

in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert und stetig ist.

Einmal stetig differenzierbar bedeutet also, dass die Richtungsableitung ${}D_{v}f$ in jede Richtung ${}v\in V$ existiert und stetig ist.

Polynomfunktionen sind beliebig oft stetig differenzierbar, siehe Aufgabe.