Höhere Richtungsableitung/R/Einführung/Textabschnitt

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Seien und endlichdimensionale -Vektorräume und eine offene Teilmenge. Für eine Abbildung und einen fixierten Vektor ist die Richtungsableitung in Richtung (falls diese existiert) selbst eine Abbildung

Als solche macht es Sinn zu fragen, ob in Richtung differenzierbar ist. Wir sprechen dann von höheren Ableitungen. Dies wird präzisiert durch die folgende induktive Definition.


Definition  

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume,

eine Abbildung auf einer offenen Menge und Vektoren in . Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von in Richtung existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung existiert. Sie wird mit

bezeichnet.


Beispiel  

Wir bestimmen die Richtungsableitung zur Funktion

in Richtung . Zu einem Punkt müssen wir die Funktion

nach im Nullpunkt ableiten. Es ist

Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist

also ist

Für diese Funktion können wir nun die Richtungsableitung in Richtung ausrechnen. Es ist

Die Ableitung von dieser Funktion im Nullpunkt ist

also ist



Definition  

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume und

eine Abbildung auf einer offenen Menge. Man sagt, dass -mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl von Vektoren aus die höhere Richtungsableitung

in Richtung existiert und stetig ist.

Einmal stetig differenzierbar bedeutet also, dass die Richtungsableitung in jede Richtung existiert und stetig ist.

Polynomfunktionen sind beliebig oft stetig differenzierbar, siehe Aufgabe.