Hesse-Form/Eigenvektor/Positiver Eigenwert/Kein Maximum/Aufgabe/Kommentar

Die Hesse-Matrix ist eine symmetrische ${}n\times n$ Matrix und repräsentiert die Hesse-Form, welche eine symmetrische Bilinearform ist. Genauer gesagt ist sie die Gramsche Matrix der Hesse-Form. Die im Vorhinein vielleicht sehr abstrakt erscheinende Vorlesung 44 zu Bilinearformen bekommt nun im Zusammenhang mit Extrema und der Hesse-Form eine praktische Bedeutung.

Damit die Funktion ${}f$ kein lokales Maximum im Punkt ${}P$ hat, wäre es wegen Fakt gut, wenn die Hesse-Form positiv definit oder indefinit wäre. Dann würde entweder ein lokales Minimum vorliegen oder gar kein Extremum.

Die einzige Information, die wir haben, ist, dass die Hesse-Matrix in ${}P$ mindestens einen positiven Eigenwert besitzt (dieser hat auch mindestens Eigenraumdimension 1). Ein Satz, den wir kennengelernt haben, der Rückschlüsse von der Grammatrix (hier Hesse-Matrix) auf die Definitheit der zugehörigen symmetrischen Bilinearform (hier die Hesse-Form) zulässt, ist das Eigenwertkriterium Fakt.

Da wir einen positiven Eigenwert mit mindestens Eigenraumdimension 1 haben, ist die Summe der Dimseionen zu positiven Eigenräumen mindestens 1 und deshalb hat die Hesse-Form Typ ${}(p,q)$ mit ${}p\geq 1$. Nach Definition des Typs existiert ein Unterraum von ${}\mathbb {R} ^{n}$, der mindestens Dimension 1 hat und auf dem die Hesse-Form positiv definit ist.

Kann die Hesse-Form jetzt überhaupt noch negativ definit sein? Wie müsste der Typ sein, damit die Hesse-Form positiv definit und wie, damit sie indefinit ist?

Zur kommentierten Aufgabe