Hesse-Form/Symmetrische Bilinearform/Fakt/Beweis

Beweis

Die Symmetrie folgt aus dem Satz von Schwarz. Seien $u, v \in V$ Vektoren und

v = a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} .

Dann gelten unter Verwendung von Fakt, Fakt und Fakt die Gleichheiten

\begin{matrix} D_{u} (D_{v} f (P)) & = D_{u} ((D f)_{P} (v)) \\ = D_{u} ((D f)_{P} (a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2})) \\ = D_{u} (a_{1} (D f)_{P} (v_{1}) + a_{2} (D f)_{P} (v_{2})) \\ = a_{1} D_{u} (D_{v_{1}} f (P)) + a_{2} D_{u} (D_{v_{2}} f (P)) . \end{matrix}