Hyperfläche/Tangentiales Vektorfeld/Bezüglich Tangentenvektor/Kovariante Ableitung/Definition

Kovariante Ableitung

Es sei ${}Y\subseteq W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, ${}W$ offen, eine differenzierbare Hyperfläche, sei ${}P\in Y$ ein Punkt und ${}v\in T_{P}Y$ ein Tangentialvektor. Es sei

$F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

ein differenzierbares Vektorfeld, das auf einer offenen Umgebung ${}P\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ definiert sei und das auf ${}Y\cap U$ tangential an ${}Y$ sei. Dann nennt man

${}\nabla _{v}F:=\pi _{P}{\left({\left(DF\right)}_{P}{\left(v\right)}\right)}\,,$

wobei

$\pi _{P}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow T_{P}Y$

die orthogonale Projektion bezeichnet, die kovariante Ableitung von ${}F$ in Richtung ${}v$.